Algebra Beispiele

$x^{2} - 5 x + 6 = y$ , $(0, 3)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y = x^{2} - 5 x + 6$ um.

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 2

Der Zwischenwertsatz besagt, dass, wenn $f$ eine reellwertige, stetige Funktion im Intervall $[a, b]$ ist und $u$ eine Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ ist, dann ist ein $c$ im Intervall $[a, b]$ enthalten, sodass $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Berechne $f (a) = f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f (0) = 6$

Schritt 5

Berechne $f (b) = f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 6$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f (3) = 9 - 15 + 6$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $15$ von $9$ .

$f (3) = - 6 + 6$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (3) = 0$

Schritt 6

Da sich $0$ im Intervall $[0, 6]$ befindet, löse die Gleichung an der Wurzel nach $x$ auf, indem du $y$ in $y = x^{2} - 5 x + 6$ gleich $0$ setzt.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ um.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 6.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 2$

Schritt 7

Der Zwischenwertsatz besagt, dass es eine Wurzel $f (c) = 0$ im Intervall $[0, 6]$ gibt, weil $f$ eine im Intervall $[0, 3]$ stetige Funktion ist.

Die Wurzeln im Intervall $[0, 3]$ befinden sich bei $x = 2$ .

Schritt 8