Algebra Beispiele

${(x + 3 y)}^{3}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(x + 3 y)}^{3}$ gilt $n = 3$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $4$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $x$ und $b$ $3 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(x)}^{3} {(3 y)}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x)}^{3}$ mit $1$ .

${(x)}^{3} {(3 y)}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$x^{3} (3^{0} y^{0}) + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(3 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$x^{3} + 3 x^{2} (3 y) + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + 3 \cdot 3 x^{2} y + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 3 {(x)}^{1} {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$x^{3} + 9 x^{2} y + 3 x {(3 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.12

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$x^{3} + 9 x^{2} y + 3 x (3^{2} y^{2}) + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} + 9 x^{2} y + 3 \cdot 3^{2} x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.14

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.14.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 4.14.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 3^{1} \cdot 3^{2} x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.14.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3} + 9 x^{2} y + 3^{1 + 2} x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.14.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 3^{3} x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.15

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere ${(x)}^{0}$ mit $1$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + {(x)}^{0} {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.17

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 1 {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere ${(3 y)}^{3}$ mit $1$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + {(3 y)}^{3}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $3 y$ an.

$x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 3^{3} y^{3}$

Schritt 4.20

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x^{3} + 9 x^{2} y + 27 x y^{2} + 27 y^{3}$