Algebra Beispiele

${(d - 5 y)}^{6}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(d - 5 y)}^{6}$ gilt $n = 6$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $7$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $d$ und $b$ $- 5 y$ in den Ausdruck ein.

$1 {(d)}^{6} {(- 5 y)}^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(d)}^{6}$ mit $1$ .

${(d)}^{6} {(- 5 y)}^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$d^{6} ({(- 5)}^{0} y^{0}) + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 5)}^{0} d^{6} y^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 d^{6} y^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $d^{6}$ mit $1$ .

$d^{6} y^{0} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$d^{6} \cdot 1 + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $d^{6}$ mit $1$ .

$d^{6} + 6 {(d)}^{5} {(- 5 y)}^{1} + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

$d^{6} + 6 d^{5} (- 5 y) + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$d^{6} + 6 \cdot - 5 d^{5} y + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 {(d)}^{4} {(- 5 y)}^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.11

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 d^{4} ({(- 5)}^{2} y^{2}) + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 \cdot {(- 5)}^{2} d^{4} y^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.13

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 15 \cdot 25 d^{4} y^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $15$ mit $25$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 {(d)}^{3} {(- 5 y)}^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 d^{3} ({(- 5)}^{3} y^{3}) + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 \cdot {(- 5)}^{3} d^{3} y^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.17

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} + 20 \cdot - 125 d^{3} y^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $20$ mit $- 125$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 {(d)}^{2} {(- 5 y)}^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 d^{2} ({(- 5)}^{4} y^{4}) + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.20

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 \cdot {(- 5)}^{4} d^{2} y^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.21

Potenziere $- 5$ mit $4$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 15 \cdot 625 d^{2} y^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.22

Mutltipliziere $15$ mit $625$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 {(d)}^{1} {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.23

Vereinfache.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 d {(- 5 y)}^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.24

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 d ({(- 5)}^{5} y^{5}) + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.25

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 \cdot {(- 5)}^{5} d y^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.26

Potenziere $- 5$ mit $5$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} + 6 \cdot - 3125 d y^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.27

Mutltipliziere $6$ mit $- 3125$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + 1 {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.28

Mutltipliziere ${(d)}^{0}$ mit $1$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + {(d)}^{0} {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.29

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + 1 {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.30

Mutltipliziere ${(- 5 y)}^{6}$ mit $1$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + {(- 5 y)}^{6}$

Schritt 4.31

Wende die Produktregel auf $- 5 y$ an.

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + {(- 5)}^{6} y^{6}$

Schritt 4.32

Potenziere $- 5$ mit $6$ .

$d^{6} - 30 d^{5} y + 375 d^{4} y^{2} - 2500 d^{3} y^{3} + 9375 d^{2} y^{4} - 18750 d y^{5} + 15625 y^{6}$