Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}} = 3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ um.

$3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ durch $3 x^{2} y$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ durch $3 x^{2} y$ .

$\frac{3 x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{3 x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{3 x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.2.3.2

Dividiere $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ durch $1$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe $162 x^{c} y^{5}$ als ${(3 y)}^{3} \cdot (6 x^{c} y^{2})$ um.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $27$ aus $162$ heraus.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{27 (6) x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.1.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 x^{c} (y^{3} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.1.4

Bewege $x^{c}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 y^{3} x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.1.5

Bewege $6$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} y^{3} \cdot 6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.1.6

Schreibe $3^{3} y^{3}$ als ${(3 y)}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot 6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.1.7

Füge Klammern hinzu.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot 6 (x^{c} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.1.8

Füge Klammern hinzu.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot (6 x^{c} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{3 y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{3 y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2} y}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2} y}$

Schritt 2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2}}$ um.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}}$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{6 y^{d}}}^{3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ als ${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 y^{d})}^{1} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$6 y^{d} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}}$ an.

$6 y^{d} = \frac{{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}^{3}$ als $6 y^{2} x^{c}$ um.

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Schritt 4.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}$ als ${(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$6 y^{d} = \frac{{({(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{3}{3}}}{{(x^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{3}{3}}}{{(x^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{1}}{{(x^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.5

Vereinfache.

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{{(x^{2})}^{3}}$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{x^{2 \cdot 3}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{x^{6}}$

Schritt 4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{c}$ und $x^{6}$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $6 y^{2} x^{c}$ heraus.

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6} \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6} \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{1}$

Schritt 4.3.1.4.2.4

Dividiere $6 y^{2} x^{c - 6}$ durch $1$ .

$6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$

Schritt 5

Löse nach $d$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$ durch $6$ .

$\frac{6 y^{d}}{6} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y^{d}}{6} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Schritt 5.1.2.1.2

Dividiere $y^{d}$ durch $1$ .

$y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Schritt 5.1.3.1.2

Dividiere $y^{2} x^{c - 6}$ durch $1$ .

$y^{d} = y^{2} x^{c - 6}$

Schritt 5.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (y^{d}) = \ln (y^{2} x^{c - 6})$

Schritt 5.3

Zerlege $\ln (y^{d})$ durch Herausziehen von $d$ aus dem Logarithmus.

$d \ln (y) = \ln (y^{2} x^{c - 6})$

Schritt 5.4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\ln (y^{2} x^{c - 6})$ als $\ln (y^{2}) + \ln (x^{c - 6})$ um.

$d \ln (y) = \ln (y^{2}) + \ln (x^{c - 6})$

Schritt 5.4.2

Zerlege $\ln (y^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + \ln (x^{c - 6})$

Schritt 5.4.3

Zerlege $\ln (x^{c - 6})$ durch Herausziehen von $c - 6$ aus dem Logarithmus.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + (c - 6) \ln (x)$

Schritt 5.5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$

Schritt 5.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$d \ln (y) - 2 \ln (y) - c \ln (x) + 6 \ln (x) = 0$

Schritt 5.7

Bringe alle Terme, die nicht $d$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.7.1

Addiere $2 \ln (y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$d \ln (y) - c \ln (x) + 6 \ln (x) = 2 \ln (y)$

Schritt 5.7.2

Addiere $c \ln (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$d \ln (y) + 6 \ln (x) = 2 \ln (y) + c \ln (x)$

Schritt 5.7.3

Subtrahiere $6 \ln (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$ durch $\ln (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$ durch $\ln (y)$ .

$\frac{d \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 5.8.2.1.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 5.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 5.8.3.1.1.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2 + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Schritt 5.8.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = 2 + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} - \frac{6 \ln (x)}{\ln (y)}$