Algebra Beispiele

$\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}} = \frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x} = \sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}}$ um.

$\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x} = \sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}}$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x})$ als $\ln (5 y^{c} \sqrt{2 y}) - \ln (d x)$ um.

$\ln (5 y^{c} \sqrt{2 y}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y}$ als ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (5 y^{c} {(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (5 y^{c} {(2 y)}^{\frac{1}{2}})$ als $\ln (5 y^{c}) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}})$ um.

$\ln (5 y^{c}) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (5 y^{c})$ als $\ln (5) + \ln (y^{c})$ um.

$\ln (5) + \ln (y^{c}) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln (y^{c})$ durch Herausziehen von $c$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + c \ln (y) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3.6

Zerlege $\ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} \ln (2 y) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3.7

Schreibe $\ln (2 y)$ als $\ln (2) + \ln (y)$ um.

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} (\ln (2) + \ln (y)) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (d x)$ als $\ln (d) + \ln (x)$ um.

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} (\ln (2) + \ln (y)) - (\ln (d) + \ln (x)) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} (\ln (2) + \ln (y)) - (\ln (d) + \ln (x))$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} \ln (2 y) - (\ln (d) + \ln (x)) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 4.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (2 y)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} - (\ln (d) + \ln (x)) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 4.1.1.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus $50 x^{6} y^{3}$ heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{x^{6} (50 y^{3})}{9 x^{8}}})$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $x^{6}$ aus $9 x^{8}$ heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{x^{6} (50 y^{3})}{x^{6} (9 x^{2})}})$

Schritt 5.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{x^{6} (50 y^{3})}{x^{6} (9 x^{2})}})$

Schritt 5.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{50 y^{3}}{9 x^{2}}})$

Schritt 5.1.2

Schreibe $\frac{50 y^{3}}{9 x^{2}}$ als ${(\frac{5 y}{3 x})}^{2} (2 y)$ um.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(5 y)}^{2}$ aus $50 y^{3}$ heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{{(5 y)}^{2} \cdot (2 y)}{9 x^{2}}})$

Schritt 5.1.2.2

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(3 x)}^{2}$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{{(5 y)}^{2} \cdot (2 y)}{{(3 x)}^{2} \cdot 1}})$

Schritt 5.1.2.3

Ordne den Bruch $\frac{{(5 y)}^{2} \cdot (2 y)}{{(3 x)}^{2} \cdot 1}$ um.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{{(\frac{5 y}{3 x})}^{2} (2 y)})$

Schritt 5.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\frac{5 y}{3 x} \sqrt{2 y})$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $\frac{5 y}{3 x}$ und $\sqrt{2 y}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\frac{5 y \sqrt{2 y}}{3 x})$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) - \ln (\frac{5 y \sqrt{2 y}}{3 x}) = 0$

Schritt 7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{\frac{5}{d x}}{\frac{5 y \sqrt{2 y}}{3 x}}) = 0$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x} \cdot \frac{3 x}{5 y \sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y \sqrt{2 y}$ heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x} \cdot \frac{3 x}{5 (y \sqrt{2 y})}) = 0$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x} \cdot \frac{3 x}{5 (y \sqrt{2 y})}) = 0$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{d x} \cdot \frac{3 x}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $x$ aus $d x$ heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{x d} \cdot \frac{3 x}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{x d} \cdot \frac{x \cdot 3}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{x d} \cdot \frac{x \cdot 3}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.3.4

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{d} \cdot \frac{3}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{1}{d}$ mit $\frac{3}{y \sqrt{2 y}}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3}{d (y \sqrt{2 y})}) = 0$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $\frac{3}{d y \sqrt{2 y}}$ mit $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3}{d y \sqrt{2 y}} \cdot \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.6.1

Mutltipliziere $\frac{3}{d y \sqrt{2 y}}$ mit $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y \sqrt{2 y} \sqrt{2 y}}) = 0$

Schritt 8.6.2

Bewege $\sqrt{2 y}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (\sqrt{2 y} \sqrt{2 y})}) = 0$

Schritt 8.6.3

Potenziere $\sqrt{2 y}$ mit $1$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (\sqrt{2 y} \sqrt{2 y})}) = 0$

Schritt 8.6.4

Potenziere $\sqrt{2 y}$ mit $1$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (\sqrt{2 y} \sqrt{2 y})}) = 0$

Schritt 8.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {\sqrt{2 y}}^{1 + 1}}) = 0$

Schritt 8.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {\sqrt{2 y}}^{2}}) = 0$

Schritt 8.6.7

Schreibe ${\sqrt{2 y}}^{2}$ als $2 y$ um.

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Schritt 8.6.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 y}$ als ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = 0$

Schritt 8.6.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = 0$

Schritt 8.6.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {(2 y)}^{\frac{2}{2}}}) = 0$

Schritt 8.6.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {(2 y)}^{\frac{2}{2}}}) = 0$

Schritt 8.6.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (2 y)}) = 0$

Schritt 8.6.7.5

Vereinfache.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (2 y)}) = 0$

Schritt 8.7

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.7.1

Bewege $y$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d (y \cdot y) \cdot 2}) = 0$

Schritt 8.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y^{2} \cdot 2}) = 0$

Schritt 8.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $d y^{2}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}}) = 0$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $\frac{\ln (2 y)}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$c \ln (y) + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}}) = - \frac{\ln (2 y)}{2}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $\ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$c \ln (y) = - \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $c \ln (y) = - \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$ durch $\ln (y)$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $c \ln (y) = - \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$ durch $\ln (y)$ .

$\frac{c \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- \frac{\ln (2 y)}{2}}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y)$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{c \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- \frac{\ln (2 y)}{2}}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{- \frac{\ln (2 y)}{2}}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$c = - \frac{\ln (2 y)}{2} \cdot \frac{1}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Schritt 10.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (y)}$ mit $\frac{\ln (2 y)}{2}$ .

$c = - \frac{\ln (2 y)}{\ln (y) \cdot 2} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Schritt 10.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (y)$ .

$c = - \frac{\ln (2 y)}{2 \cdot \ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Schritt 10.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = - \frac{\ln (2 y)}{2 \ln (y)} - \frac{\ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$