Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)) = 3 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\log_{4} (y)$ .

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{4} (y) = 3 x$

Schritt 3.4

Schreibe $\log_{4} (y) = 3 x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{3 x} = y$

Schritt 3.5

Schreibe die Gleichung als $y = 4^{3 x}$ um.

$y = 4^{3 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\frac{1}{3} \log_{4} (x)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Schritt 5.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.2.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (4^{3 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (4^{3 x})$

Schritt 5.3.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3 x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log_{4} (4))$

Schritt 5.3.4

Die logarithmische Basis $4$ von $4$ ist $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4^{3 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$