Algebra Beispiele

$y = \frac{\log (x)}{4 + \log (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\log (x)}{4 + \log (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = 4 + \log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\log (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [4 + \log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + \log (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\log (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (10)}$ und $\log (x)$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Um $(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Kombiniere $(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ und $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.9

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.10

Kombiniere $\ln (10)$ und $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (10)$ .

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Schritt 3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(4 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $4 + \log (x)$ mit $1$ .

$\frac{\frac{4 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.14

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.16

Schreibe $\frac{\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.17

Mutltipliziere $\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10)}$ mit $\frac{1}{{(4 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{4 + \log (1)}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.18

Vereinfache.

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Schritt 3.18.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.18.1.1

Die logarithmische Basis $10$ von $1$ ist $0$ .

$\frac{4 + 0}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.18.1.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 3.18.2

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Schritt 3.18.3

Stelle die Faktoren in $\frac{4}{x {(4 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ um.

$\frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x \ln (10) {(4 + \log (x))}^{2}}$