Algebra Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{\cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{\cos (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - x^{2} (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Multipliziere.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.1.2

Stelle die Faktoren in $2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x)$ um.

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x \cos (x)$ heraus.

$\frac{x (2 \cos (x)) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \sin (x)$ heraus.

$\frac{x (2 \cos (x)) + x (x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (2 \cos (x)) + x (x \sin (x))$ heraus.

$\frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$