Algebra Beispiele

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} \leq \frac{6}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Löse $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ .

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} - 3 x + 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 3 x + 2$ .

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Schritt 1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Schritt 1.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache $\frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 2^{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$2 = \frac{6}{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 3 x + 2)$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $x^{2} - 3 x + 2$ .

$2 = \frac{6 (x^{2} - 3 x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 1.2.2.1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 = \frac{6 ((x - 2) (x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 1.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = \frac{6 (x - 1)}{x + 2}$

Schritt 1.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ um.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$

Schritt 1.3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 2, 1$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$x + 2, 1$

Schritt 1.3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 2$

Schritt 1.3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ mit $x + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ mit $x + 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (x - 1) = 2 (x + 2)$

Schritt 1.3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 6 \cdot - 1 = 2 (x + 2)$

Schritt 1.3.3.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$6 x - 6 = 2 (x + 2)$

Schritt 1.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x - 6 = 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 1.3.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 x - 6 = 2 x + 4$

Schritt 1.3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x - 6 - 2 x = 4$

Schritt 1.3.4.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $6 x$ .

$4 x - 6 = 4$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 4 + 6$

Schritt 1.3.4.2.2

Addiere $4$ und $6$ .

$4 x = 10$

Schritt 1.3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 10$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 10$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Schritt 1.3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Schritt 1.3.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{4}$

Schritt 1.3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 1.3.4.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x = \frac{2 (5)}{4}$

Schritt 1.3.4.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.4.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.3.4.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 1.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze den Nenner in $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 1.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.4.2.2

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.2.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.4.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.4.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1$

Schritt 1.4.3

Setze den Nenner in $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.4.4.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.4.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.4.4.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.4.4.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.4.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.4.4.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.4.4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 1.4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 1.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 1.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 1.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 2} \leq \frac{6}{{(- 4)}^{2} - 4}$

Schritt 1.6.1.3

Die linke Seite $0.0\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2} \leq \frac{6}{{(0)}^{2} - 4}$

Schritt 1.6.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $- 1.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.6.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.5$

Schritt 1.6.3.2

Ersetze $x$ durch $1.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{{(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2} \leq \frac{6}{{(1.5)}^{2} - 4}$

Schritt 1.6.3.3

Die linke Seite $- 8$ ist kleiner als die rechte Seite $- 3.\overline{428571}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.6.4

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.25$

Schritt 1.6.4.2

Ersetze $x$ durch $2.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{{(2.25)}^{2} - 3 \cdot 2.25 + 2} \leq \frac{6}{{(2.25)}^{2} - 4}$

Schritt 1.6.4.3

Die linke Seite $6.4$ ist größer als die rechte Seite $5.64705882$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.6.5

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.6.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 1.6.5.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 + 2} \leq \frac{6}{{(5)}^{2} - 4}$

Schritt 1.6.5.3

Die linke Seite $0.1\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $0.\overline{285714}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.6.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Wahr

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falsch

$x > \frac{5}{2}$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 2$ Wahr

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falsch

$x > \frac{5}{2}$ Wahr

Schritt 1.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $1 < x < 2$ oder $x \geq \frac{5}{2}$

Schritt 2

Verwende die Ungleichung $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ , um die Mengenschreibweise aufzustellen.

${x | x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}}$

Schritt 3