Algebra Beispiele

${(1 - 2 x)}^{n}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{n}$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{n}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = n$ .

$f' (x) = n u^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.2.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \cdot - 2$

Schritt 1.2.6.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ .

$f' (x) = - 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 2 n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ nach $x$ gleich $- 2 n \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 1}]$ .

$f'' (x) = - 2 n \frac{d}{d x} {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{n - 1}$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n (\frac{d}{d u} (u^{n - 1}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = n - 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) u^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Schritt 2.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Schritt 2.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 2.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \cdot 1)$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $n - 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$

Schritt 2.3.8.2

Stelle die Faktoren von $4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$ um.

$f'' (x) = 4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $4 n (n - 1)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$ nach $x$ gleich $4 n (n - 1) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 2}]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 2})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{n - 2}$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) (\frac{d}{d u} (u^{n - 2}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = n - 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) u^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Schritt 3.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 3.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \cdot 1)$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $n - 2$ mit $1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = (- 8 n \cdot n - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere $n$ mit $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = (- 8 n^{1 + 1} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Faktoren von $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$ um.

$f''' (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von ${(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ nach $x$ gleich $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 3}]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{n - 3}$ und $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (\frac{d}{d u} (u^{n - 3}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = n - 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) u^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Schritt 4.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Schritt 4.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 4.3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \cdot 1))$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.7.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \cdot - 2)$

Schritt 4.3.7.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $(n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (- 2 \cdot ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}))$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n - 2 \cdot - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

Schritt 4.4.3

Stelle die Faktoren von $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$ um.

$f^{4} (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 n + 6) (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$