Algebra Beispiele

$(0, 0)$ , $(2, 2)$ , $(4, 0)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$0 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 2 = a {(2)}^{2} + b (2) + c, 0 = a {(4)}^{2} + b (4) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $0 = a \cdot 0^{2} + c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a \cdot 0^{2} + c = 0$ um.

$a \cdot 0^{2} + c = 0$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a \cdot 0 + c = 0$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$0 + c = 0$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$0 + c = 0$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $c$ .

$c = 0$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$c = 0$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$c = 0$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $c$ in $2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$ durch $0$ .

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 0$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 0$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 0$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2) + 0$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache $a \cdot 2^{2} + b (2) + 0$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Addiere $a \cdot 2^{2} + b (2)$ und $0$ .

$2 = a \cdot 2^{2} + b (2)$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 = a \cdot 4 + b (2)$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$2 = 4 \cdot a + b (2)$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $c$ in $0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ durch $0$ .

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 0$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 0$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1.1

Entferne die Klammern.

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 0$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 0$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Vereinfache $a \cdot 4^{2} + b (4) + 0$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Addiere $a \cdot 4^{2} + b (4)$ und $0$ .

$0 = a \cdot 4^{2} + b (4)$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.2.1.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$0 = a \cdot 16 + b (4)$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.2.4.2.1.2.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $a$ .

$0 = 16 \cdot a + b (4)$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.2.4.2.1.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $b$ .

$0 = 16 a + 4 b$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = 16 a + 4 b$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = 16 a + 4 b$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = 16 a + 4 b$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = 16 a + 4 b$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$0 = 16 a + 4 b$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3

Löse in $0 = 16 a + 4 b$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $16 a + 4 b = 0$ um.

$16 a + 4 b = 0$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $4 b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 a = - 4 b$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $16 a = - 4 b$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 a = - 4 b$ durch $16$ .

$\frac{16 a}{16} = \frac{- 4 b}{16}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 a}{16} = \frac{- 4 b}{16}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 4 b}{16}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$a = \frac{- 4 b}{16}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$a = \frac{- 4 b}{16}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $16$ .

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Schritt 3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 b$ heraus.

$a = \frac{4 (- b)}{16}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$a = \frac{4 (- b)}{4 (4)}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{4 (- b)}{4 \cdot 4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- b}{4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$a = \frac{- b}{4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$a = \frac{- b}{4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b}{4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$a = - \frac{b}{4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$a = - \frac{b}{4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

$a = - \frac{b}{4}$

$2 = 4 a + 2 b$

$c = 0$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- \frac{b}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $a$ in $2 = 4 a + 2 b$ durch $- \frac{b}{4}$ .

$2 = 4 (- \frac{b}{4}) + 2 b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $4 (- \frac{b}{4}) + 2 b$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{4}$ in den Zähler.

$2 = 4 (\frac{- b}{4}) + 2 b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 = 4 (\frac{- b}{4}) + 2 b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 = - b + 2 b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

$2 = - b + 2 b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $- b$ und $2 b$ .

$2 = b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

$2 = b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

$2 = b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

$2 = b$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

Schritt 3.5

Schreibe die Gleichung als $b = 2$ um.

$b = 2$

$a = - \frac{b}{4}$

$c = 0$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $b$ in $a = - \frac{b}{4}$ durch $2$ .

$a = - \frac{2}{4}$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$a = - \frac{2 (1)}{4}$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 3.6.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = - \frac{1}{2}, b = 2, c = 0$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 2 x$

Schritt 5