Algebra Beispiele

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 0.5 x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $0.5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $0.5 x$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.2.2

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.5 x$ nach $x$ gleich $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $0.5$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.2.5

Bringe $0.5$ auf die linke Seite von $e^{0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 e^{- 0.5 x}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.5 x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 x$ nach $x$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Schritt 1.1.3.6

Bringe $- 0.5$ auf die linke Seite von $e^{- 0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $64$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

Schritt 2.2

Bringe $- 32 e^{- 0.5 x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ als $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ um.

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Schritt 2.4.2

Zerlege $\ln (e^{0.5 x})$ durch Herausziehen von $0.5 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Schritt 2.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $0.5$ mit $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Schritt 2.5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $\ln (32 e^{- 0.5 x})$ als $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ um.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

Schritt 2.5.2

Zerlege $\ln (e^{- 0.5 x})$ durch Herausziehen von $- 0.5 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

Schritt 2.5.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

Schritt 2.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

Schritt 2.7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

Schritt 2.8

Dividiere $0.5$ durch $32$ .

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

Schritt 2.9

Subtrahiere $0.5 x$ von $- 0.5 x$ .

$\ln (0.015625) = - 1 x$

Schritt 2.10

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

Schritt 2.11

Teile jeden Ausdruck in $- 1 x = \ln (0.015625)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 x = \ln (0.015625)$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1$ .

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Schritt 2.11.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2.1.2

Faktorisiere $1$ aus $- 1 (1) x$ heraus.

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.2.2.1

Schreibe $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ als $- (- 1 \cdot 1 x)$ um.

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.11.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

Schritt 2.11.3.2

Dividiere $\ln (0.015625)$ durch $1$ .

$x = - \ln (0.015625)$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- \ln (0.015625)$ .

$- \ln (0.015625)$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \ln (0.015625))$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $0.5$ mit $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $0.5$ mit $e^{1.57944154}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

Schritt 5.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

Schritt 5.2.1.5

Kombiniere $- 32$ und $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

Schritt 5.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

Schritt 5.2.1.7

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

Schritt 5.2.1.8

Potenziere $2.71828182$ mit $1.57944154$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

Schritt 5.2.1.9

Dividiere $32$ durch $4.85224527$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

Schritt 5.2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $6.59488508$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6.59488508$ von $2.42612263$ .

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.16876244$ .

$- 4.16876244$

Schritt 5.3

Bei $x = 3.15888308$ ist die Ableitung $- 4.16876244$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \ln (0.015625))$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \ln (0.015625))$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \ln (0.015625), \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $0.5$ mit $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $0.5$ mit $e^{2.57944154}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

Schritt 6.2.1.5

Kombiniere $- 32$ und $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

Schritt 6.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

Schritt 6.2.1.7

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

Schritt 6.2.1.8

Potenziere $2.71828182$ mit $2.57944154$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

Schritt 6.2.1.9

Dividiere $32$ durch $13.18977016$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

Schritt 6.2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.42612263$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2.42612263$ von $6.59488508$ .

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.16876244$ .

$4.16876244$

Schritt 6.3

Bei $x = 5.15888308$ ist die Ableitung $4.16876244$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \ln (0.015625), \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \ln (0.015625), \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \ln (0.015625), \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

Schritt 8