Algebra Beispiele

$\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$ als $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d n} [x^{\frac{2 n + 1}{n}}]$

Schritt 2

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = \frac{2 n + 1}{n}$ ist.

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1 \cdot \frac{n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} + \frac{- n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1 - n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $n$ von $2 n$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{n + 1}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{2 n + 1}{n}$ und $x^{\frac{n + 1}{n}}$ .

$\frac{d}{d n} [x] \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 4.3

Da $x$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $n$ gleich $0$ .

$0 \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n}$ .

$0 + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 4.4.2

Addiere $0$ und $\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ gleich $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ ist mit $f (n) = 2 n + 1$ und $g (n) = n$ .

$\frac{n \frac{d}{d n} [2 n + 1] - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 n + 1$ nach $n$ $\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]$ .

$\frac{n (\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.2

Da $2$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $2 n$ nach $n$ gleich $2 \frac{d}{d n} [n]$ .

$\frac{n (2 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{n (2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{n (2 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.5

Da $1$ konstant bezüglich $n$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $n$ gleich $0$ .

$\frac{n (2 + 0) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{n \cdot 2 - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $n$ .

$\frac{2 \cdot n - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ gleich $n \cdot n^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1) \cdot 1}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Schritt 6.8.2

Kombiniere $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ und $\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}} \ln (x)$

Schritt 6.8.3

Kombiniere $\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1)) \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n) - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2 n$ von $2 n$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (0 - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \cdot - 1 \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7.2.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7.2.5

Schreibe $- 1 x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ als $- x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ um.

$\frac{- x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$