Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} = \frac{x - 6}{2 x} + \frac{2 x + 12}{x}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{x - 6}{2 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} - \frac{x - 6}{2 x} = \frac{2 x + 12}{x}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{2 x + 12}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} - \frac{x - 6}{2 x} - \frac{2 x + 12}{x} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} - \frac{x - 6}{2 x} - \frac{2 x + 12}{x}$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x - 6}{2 x} - \frac{2 x + 12}{x} = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{x - 6}{2 x} - \frac{2 x + 12}{x} = 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{x - 6}{2 x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - (\frac{x - 6}{2 x} \cdot \frac{x}{x}) - \frac{2 x + 12}{x} = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{x - 6}{2 x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 6) x}{2 x \cdot x} - \frac{2 x + 12}{x} = 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{2 x + 12}{x}$ mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 6) x}{2 x \cdot x} - (\frac{2 x + 12}{x} \cdot \frac{2 x}{2 x}) = 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{2 x + 12}{x}$ mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{x^{2} \cdot 2} - \frac{(x - 6) x}{2 x \cdot x} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{x (2 x)} = 0$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $x^{2} \cdot 2$ um.

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x \cdot x} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{x (2 x)} = 0$

Schritt 2.1.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 (x^{1} x)} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{x (2 x)} = 0$

Schritt 2.1.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 (x^{1} x^{1})} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{x (2 x)} = 0$

Schritt 2.1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x^{1 + 1}} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{x (2 x)} = 0$

Schritt 2.1.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x^{2}} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{x (2 x)} = 0$

Schritt 2.1.12

Stelle die Faktoren von $x (2 x)$ um.

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x^{2}} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{2 x \cdot x} = 0$

Schritt 2.1.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x^{2}} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{2 (x^{1} x)} = 0$

Schritt 2.1.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x^{2}} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{2 (x^{1} x^{1})} = 0$

Schritt 2.1.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x^{2}} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{2 x^{1 + 1}} = 0$

Schritt 2.1.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{(x - 6) x}{2 x^{2}} - \frac{(2 x + 12) (2 x)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x^{2} - x - 6) \cdot 2 - (2 x + 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} \cdot 2 - x \cdot 2 - 6 \cdot 2 - (2 x + 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - x \cdot 2 - 6 \cdot 2 - (2 x + 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - 2 x - 6 \cdot 2 - (2 x + 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot x^{2} - 2 x - 12 - (2 x + 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 + (- (2 x) - 1 \cdot 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 + (- 2 x - 1 \cdot 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 + (- 2 x - 12) (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - 2 x (2 x) - 12 (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - 2 \cdot 2 x \cdot x - 12 (2 x)}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - 2 \cdot 2 x \cdot x - 24 x}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.9.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.9.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 24 x}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.9.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - 2 \cdot 2 x^{2} - 24 x}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.3.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 12 - 4 x^{2} - 24 x}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x - 12 - 24 x}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $24 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 26 x - 12}{2 x^{2}} + \frac{- (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 x^{2} - 26 x - 12 - (x - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} - 26 x - 12 + (- x - - 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 26 x - 12 + (- x + 6) x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} - 26 x - 12 - x \cdot x + 6 x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 26 x - 12 - (x \cdot x) + 6 x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.7.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 26 x - 12 - x^{2} + 6 x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 26 x - 12 + 6 x}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.7.3

Addiere $- 26 x$ und $6 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 20 x - 12}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.8.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot - 12 = 36$ und deren Summe gleich $b = - 20$ ist.

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Schritt 2.8.1.1

Faktorisiere $- 20$ aus $- 20 x$ heraus.

$\frac{- 3 x^{2} - 20 (x) - 12}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.8.1.2

Schreibe $- 20$ um als $- 2$ plus $- 18$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 2 - 18) x - 12}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x - 18 x - 12}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.8.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 3 x^{2} - 2 x) - 18 x - 12}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.8.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- 3 x - 2) + 6 (- 3 x - 2)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.8.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x - 2$ .

$\frac{(- 3 x - 2) (x + 6)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{(- (3 x) - 2) (x + 6)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{(- (3 x) - 1 (2)) (x + 6)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- (3 x + 2) (x + 6)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.12

Schreibe $- (3 x + 2)$ als $- 1 (3 x + 2)$ um.

$\frac{- 1 (3 x + 2) (x + 6)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(3 x + 2) (x + 6)}{2 x^{2}} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{(3 x + 2) (x + 6)}{2 x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5