Algebra Beispiele

$m x^{2} + 12 x + 9 m = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = m$ , $b = 12$ und $c = 9 m$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (m \cdot (9 m))}}{2 m}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot m \cdot (9 m)$ als ${(6 m)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - {(6 m)}^{2}}}{2 m}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 12$ und $b = 6 m$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{(12 + 6 m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $12 + 6 m$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{(6 \cdot 2 + 6 m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 3.1.3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot 2 + 6 m$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (12 - 6 m)}}{2 m}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $6$ aus $12 - 6 m$ heraus.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2) - 6 m)}}{2 m}$

Schritt 3.1.4.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 m$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2) + 6 (- m))}}{2 m}$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- m)$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2 - m))}}{2 m}$

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) \cdot (6 (2 - m))}}{2 m}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $36 (2 + m) (2 - m)$ als $6^{2} ((2 + m) (2 - m))$ um.

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Schritt 3.1.6.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} (2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 3.1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} ((2 + m) (2 - m))}}{2 m}$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{2 m}$ .

$x = \frac{- 6 \pm 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{m}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $4 \cdot m \cdot (9 m)$ als ${(6 m)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - {(6 m)}^{2}}}{2 m}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 12$ und $b = 6 m$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{(12 + 6 m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $12 + 6 m$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{(6 \cdot 2 + 6 m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 4.1.3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot 2 + 6 m$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (12 - 6 m)}}{2 m}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $6$ aus $12 - 6 m$ heraus.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2) - 6 m)}}{2 m}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 m$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2) + 6 (- m))}}{2 m}$

Schritt 4.1.4.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- m)$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2 - m))}}{2 m}$

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) \cdot (6 (2 - m))}}{2 m}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $36 (2 + m) (2 - m)$ als $6^{2} ((2 + m) (2 - m))$ um.

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Schritt 4.1.6.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} (2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 4.1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} ((2 + m) (2 - m))}}{2 m}$

Schritt 4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 4.2

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{2 m}$ .

$x = \frac{- 6 \pm 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{m}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 6 + 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{m}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $3$ aus $- 6 + 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot - 2 + 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{m}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot - 2 + 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}$ heraus.

$x = \frac{3 (- 2 + \sqrt{(2 + m) (2 - m)})}{m}$

Schritt 4.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{3 (- 1 \cdot 2 + \sqrt{(2 + m) (2 - m)})}{m}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{(2 + m) (2 - m)}$ heraus.

$x = \frac{3 (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{(2 + m) (2 - m)}))}{m}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{(2 + m) (2 - m)})$ heraus.

$x = \frac{3 (- 1 (2 - \sqrt{(2 + m) (2 - m)}))}{m}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 (2 - \sqrt{(2 + m) (2 - m)})}{m}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $4 \cdot m \cdot (9 m)$ als ${(6 m)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - {(6 m)}^{2}}}{2 m}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 12$ und $b = 6 m$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{(12 + 6 m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $12 + 6 m$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{(6 \cdot 2 + 6 m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 5.1.3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot 2 + 6 m$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (12 - (6 m))}}{2 m}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (12 - 6 m)}}{2 m}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $6$ aus $12 - 6 m$ heraus.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2) - 6 m)}}{2 m}$

Schritt 5.1.4.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 m$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2) + 6 (- m))}}{2 m}$

Schritt 5.1.4.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- m)$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) (6 (2 - m))}}{2 m}$

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6 (2 + m) \cdot (6 (2 - m))}}{2 m}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $36 (2 + m) (2 - m)$ als $6^{2} ((2 + m) (2 - m))$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} (2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 5.1.6.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} ((2 + m) (2 - m))}}{2 m}$

Schritt 5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{2 m}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{2 m}$ .

$x = \frac{- 6 \pm 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{m}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 6 - 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}}{m}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6 - 3 \sqrt{(2 + m) (2 - m)}$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.4.1.1

Stelle $2$ und $m$ um.

$x = \frac{- 6 - 3 \sqrt{(m + 2) (2 - m)}}{m}$

Schritt 5.4.1.2

Stelle $2$ und $- m$ um.

$x = \frac{- 6 - 3 \sqrt{(m + 2) (- m + 2)}}{m}$

Schritt 5.4.1.3

Stelle $- 6$ und $- 3 \sqrt{(m + 2) (- m + 2)}$ um.

$x = \frac{- 3 \sqrt{(m + 2) (- m + 2)} - 6}{m}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 \sqrt{(m + 2) (- m + 2)}$ heraus.

$x = \frac{- 3 \sqrt{(m + 2) (- m + 2)} - 6}{m}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{- 3 \sqrt{(m + 2) (- m + 2)} - 3 \cdot 2}{m}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (\sqrt{(m + 2) (- m + 2)}) - 3 (2)$ heraus.

$x = \frac{- 3 (\sqrt{(m + 2) (- m + 2)} + 2)}{m}$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 (\sqrt{(m + 2) (- m + 2)} + 2)}{m}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 (2 - \sqrt{(2 + m) (2 - m)})}{m}$

$x = - \frac{3 (\sqrt{(m + 2) (- m + 2)} + 2)}{m}$