Algebra Beispiele

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$

Schritt 1

Vereinfache $2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Forme um.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 0 + 0 + 2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x + 2 k) (x - k) (3 x + 2)$

Schritt 1.3

Multipliziere $(2 x + 2 k) (x - k)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x (x - k) + 2 k (x - k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x \cdot x + 2 x (- k) + 2 k (x - k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x \cdot x + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 (x \cdot x) + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x k + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 k \cdot k) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.1.5

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.5.1

Bewege $k$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 (k \cdot k)) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.1.5.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 k^{2}) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 2 x k$ und $2 k x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Bewege $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 k x + 2 k x - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $- 2 k x$ und $2 k x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 0 - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Schritt 1.4.3

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Schritt 1.5

Multipliziere $(2 x^{2} - 2 k^{2}) (3 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x + 2) - 2 k^{2} (3 x + 2)$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x + 2)$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Bewege $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 3 k^{2} x - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 2 k^{2} \cdot 2$

Schritt 1.6.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Subtrahiere $6 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} = 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} = - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Schritt 2.3

Addiere $6 k^{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Schritt 2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} + 6 k^{2} x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Subtrahiere $6 x^{3}$ von $6 x^{3}$ .

$4 x^{2} - 6 x - 4 + 0 - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Schritt 2.4.2

Addiere $4 x^{2} - 6 x - 4$ und $0$ .

$4 x^{2} - 6 x - 4 - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$- 6 x - 4 + 0 + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Schritt 2.4.4

Addiere $- 6 x - 4$ und $0$ .

$- 6 x - 4 + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Schritt 3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x + 6 k^{2} x = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 4

Faktorisiere $6 x$ aus $- 6 x + 6 k^{2} x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $6 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$6 x (- 1) + 6 k^{2} x = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 4.2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 k^{2} x$ heraus.

$6 x (- 1) + 6 x (k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 4.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (- 1) + 6 x (k^{2})$ heraus.

$6 x (- 1 + k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$6 x (- 1^{2} + k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 6

Stelle $- 1^{2}$ und $k^{2}$ um.

$6 x (k^{2} - 1^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 7

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = k$ und $b = 1$ .

$6 x ((k + 1) (k - 1)) = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$ durch $6 (k + 1) (k - 1)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$ durch $6 (k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{6 x (k + 1) (k - 1)}{6 (k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x (k + 1) (k - 1)}{6 (k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x (k + 1)) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x) (k - 1)}{k - 1} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $k - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (k - 1)}{k - 1} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 k^{2}$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (k + 1) (k - 1)$ heraus.

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{2 (3 (k + 1) (k - 1))} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{2 (3 (k + 1) (k - 1))} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{(2) k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 (2)}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 8.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (k + 1) (k - 1)$ heraus.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 (2)}{2 (3 (k + 1) (k - 1))}$

Schritt 8.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 \cdot 2}{2 (3 (k + 1) (k - 1))}$

Schritt 8.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2}{3 (k + 1) (k - 1)}$

Schritt 9

Um als Funktion von $k$ neu zu schreiben, schreibe die Gleichung so, dass $x$ für sich auf einer Seite des Gleichheitszeichens ist und ein Ausdruck, der nur $k$ enthält, auf der anderen Seite ist.

$f (k) = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2}{3 (k + 1) (k - 1)}$