Algebra Beispiele

$16 p^{2} + b p + 1 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 16$ , $b = b$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $p$ auf.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 16 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 4 \cdot 1)}^{2}$ um.

$p = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = b$ und $b = 2 \cdot 4 \cdot 1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 2 \cdot 4 \cdot 1) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8 \cdot 1) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 4 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - (8 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 1 \cdot 8)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $4 \cdot 16 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 4 \cdot 1)}^{2}$ um.

$p = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = b$ und $b = 2 \cdot 4 \cdot 1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 2 \cdot 4 \cdot 1) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 4.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8 \cdot 1) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 4 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - (8 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 1 \cdot 8)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$p = \frac{- b + \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$p = \frac{- (b) + \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{(b + 8) (b - 8)}$ heraus.

$p = \frac{- (b) - 1 (- \sqrt{(b + 8) (b - 8)})}{32}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - 1 (- \sqrt{(b + 8) (b - 8)})$ heraus.

$p = \frac{- (b - \sqrt{(b + 8) (b - 8)})}{32}$

Schritt 4.7

Schreibe $- (b - \sqrt{(b + 8) (b - 8)})$ als $- 1 (b - \sqrt{(b + 8) (b - 8)})$ um.

$p = \frac{- 1 (b - \sqrt{(b + 8) (b - 8)})}{32}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p = - \frac{b - \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $4 \cdot 16 \cdot 1$ als ${(2 \cdot 4 \cdot 1)}^{2}$ um.

$p = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - {(2 \cdot 4 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = b$ und $b = 2 \cdot 4 \cdot 1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 2 \cdot 4 \cdot 1) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Multipliziere $2 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8 \cdot 1) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - (2 \cdot 4 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.2

Multipliziere $- (2 \cdot 4 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - (8 \cdot 1))}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 1 \cdot 8)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{2 \cdot 16}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$p = \frac{- b \pm \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$p = \frac{- b - \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$p = \frac{- (b) - \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{(b + 8) (b - 8)}$ heraus.

$p = \frac{- (b) - (\sqrt{(b + 8) (b - 8)})}{32}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - (\sqrt{(b + 8) (b - 8)})$ heraus.

$p = \frac{- (b + \sqrt{(b + 8) (b - 8)})}{32}$

Schritt 5.7

Schreibe $- (b + \sqrt{(b + 8) (b - 8)})$ als $- 1 (b + \sqrt{(b + 8) (b - 8)})$ um.

$p = \frac{- 1 (b + \sqrt{(b + 8) (b - 8)})}{32}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p = - \frac{b + \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$p = - \frac{b - \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$

$p = - \frac{b + \sqrt{(b + 8) (b - 8)}}{32}$