Algebra Beispiele

$y = \frac{4 x^{5} + 2 x^{2}}{3 x^{4} + 5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x^{5} + 2 x^{2}$ und $g (x) = 3 x^{4} + 5$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + 2 x^{2}] - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{5} + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 (2 x)) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 7.2

Addiere $12 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) + (- (4 x^{5}) - (2 x^{2})) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Multipliziere $(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4} + 4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \cdot 20 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot 20 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \cdot 20 x^{4 + 4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.2.3

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{3 \cdot 20 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{4} x + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.5

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{1 + 4} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.5.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.7

Mutltipliziere $20$ mit $5$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2.8

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 (x^{3} x^{5})) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{3 + 5}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.3.3

Addiere $3$ und $5$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{8}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 4 x^{8} \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $- 4$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 (x^{3} x^{2})) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{3 + 2}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.6.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{5}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 2 x^{5} \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.1.8

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $48 x^{8}$ von $60 x^{8}$ .

$\frac{12 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.3.3

Subtrahiere $24 x^{5}$ von $12 x^{5}$ .

$\frac{12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.4

Faktorisiere $4 x$ aus $12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.4.1

Faktorisiere $4 x$ aus $12 x^{8}$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{7}) - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 12 x^{5}$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $4 x$ aus $100 x^{4}$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.4.4

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.4.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4})$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.4.6

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3})$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

Schritt 8.4.7

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)$ heraus.

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3} + 5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$