Algebra Beispiele

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 13 {(2)}^{2} + 36$

Schritt 4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$16 - 13 \cdot 4 + 36$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 13$ mit $4$ .

$16 - 52 + 36$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $52$ von $16$ .

$- 36 + 36$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 36$ und $36$ .

$0$

Schritt 5

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 13 x^{2} + 36}{x - 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$- 9$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 9)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 18)$ mit dem Divisor $(2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(36)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 9) x - 18$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 2) + x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

$(x - 2) x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 9)$

Schritt 9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 3^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$(x - 2) + (x + 2) ((x + 3) (x - 3))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) + (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 2) (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

Schritt 11

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 12

Faktorisiere $u^{2} - 13 u + 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 12.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $36$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 9, - 4$

Schritt 12.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Schritt 13

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Schritt 14

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

Schritt 15

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 15.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 16

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 9) (u - 4) = 0$ wahr machen.

$u = 9, 4$

Schritt 17

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 18

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 9$

Schritt 19

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 19.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 19.2

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 19.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 19.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 19.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 19.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 19.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 19.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 20

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 4$

Schritt 21

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 21.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 4$

Schritt 21.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 21.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 21.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 21.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 21.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 21.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 21.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 21.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 22

Die Lösung von $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ist $x = 3, - 3, 2, - 2$ .

$x = 3, - 3, 2, - 2$

Schritt 23