Algebra Beispiele

$30$ , $- 6$ , $\frac{6}{5}$ , $- \frac{6}{25}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $- \frac{1}{5}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = - \frac{1}{5}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 30$ und $r = - \frac{1}{5}$ ein.

$a_{n} = 30 {(- \frac{1}{5})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n - 1})$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{5^{n - 1}})$

Schritt 5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a_{n} = 30 ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{5^{n - 1}})$

Schritt 6

Kombiniere ${(- 1)}^{n - 1}$ und $\frac{1}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = 30 \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Schritt 7

Kombiniere $30$ und $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{30 {(- 1)}^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Schritt 8

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 9

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{5}$ zu ermitteln.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- \frac{1}{5})}^{5} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{5}$ an.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{1}{5})}^{5} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{{(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{5^{5}}) - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1^{5}}{5^{5}} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{5^{5}} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.4

Potenziere $5$ mit $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3125} - 1}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3125}{3125}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3125} - 1 \cdot \frac{3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3125}{3125}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{1}{3125} + \frac{- 1 \cdot 3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3125$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 1 - 3125}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.8.2

Subtrahiere $3125$ von $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{- 3126}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 10.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1}$

Schritt 11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 11.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 11.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{\frac{- 1 - 5}{5}}$

Schritt 11.4.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{\frac{- 6}{5}}$

Schritt 11.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{- \frac{3126}{3125}}{- \frac{6}{5}}$

Schritt 12

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{\frac{3126}{3125}}{\frac{6}{5}}$

Schritt 13

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{3126}{3125} \cdot \frac{5}{6})$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 14.1

Faktorisiere $6$ aus $3126$ heraus.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{6 (521)}{3125} \cdot \frac{5}{6})$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{6 \cdot 521}{3125} \cdot \frac{5}{6})$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{521}{3125} \cdot 5)$

Schritt 15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 15.1

Faktorisiere $5$ aus $3125$ heraus.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{521}{5 (625)} \cdot 5)$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = 30 \cdot (\frac{521}{5 \cdot 625} \cdot 5)$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = 30 \cdot \frac{521}{625}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 16.1

Faktorisiere $5$ aus $30$ heraus.

$S_{5} = 5 (6) \cdot \frac{521}{625}$

Schritt 16.2

Faktorisiere $5$ aus $625$ heraus.

$S_{5} = 5 \cdot 6 \cdot \frac{521}{5 \cdot 125}$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{5} = 5 \cdot 6 \cdot \frac{521}{5 \cdot 125}$

Schritt 16.4

Forme den Ausdruck um.

$S_{5} = 6 \cdot \frac{521}{125}$

Schritt 17

Kombiniere $6$ und $\frac{521}{125}$ .

$S_{5} = \frac{6 \cdot 521}{125}$

Schritt 18

Mutltipliziere $6$ mit $521$ .

$S_{5} = \frac{3126}{125}$