Algebra Beispiele

$x \sqrt{5 - x}$

Schritt 1

Schreibe $x \sqrt{5 - x}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt{5 - x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - x}$ als ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8.3

Bringe ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.14

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 2.16

Mutltipliziere ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.17

Um ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18

Kombiniere ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.20

Multipliziere ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.20.1

Bewege ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x + {(5 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.21

Vereinfache ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{- x + 10 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- x + 10 - 2 x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.4

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 10)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.6

Schreibe $- (3 x - 10)$ als $- 1 (3 x - 10)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 10}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 10}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 10$ und $g (x) = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 10) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.5

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 10)) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.5.5

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) \frac{d}{d x} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.11

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.11.3

Bringe ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x))}{5 - x}$

Schritt 3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)))}{5 - x}$

Schritt 3.13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{5 - x}$

Schritt 3.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{5 - x}$

Schritt 3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{5 - x}$

Schritt 3.16

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{5 - x}$

Schritt 3.16.2

Mutltipliziere $3 x - 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{5 - x}$

Schritt 3.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{5 - x}$

Schritt 3.18

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.18.1

Mutltipliziere $3 x - 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{5 - x}$

Schritt 3.18.2

Mutltipliziere $\frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) \frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 - x}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(5 - x) \cdot 2}$

Schritt 3.18.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (5 - x)}$

Schritt 3.19

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{3 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 10) (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.2.1

Es sei $u_{2} = {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.1.2

Multipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.2.1.2.1

Bewege $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.1.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 10}{2 u_{2}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (5 - x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.1.2

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (5 - x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 5 + 6 (- x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{30 + 6 (- x) + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{30 - 6 x + 3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.2

Subtrahiere $10$ von $30$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.2.3.3

Addiere $- 6 x$ und $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 5 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 + 2 (- x)}$

Schritt 3.19.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 - 2 x}$

Schritt 3.19.3.3

Schreibe $\frac{\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{10 - 2 x}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{10 - 2 x})$

Schritt 3.19.3.4

Mutltipliziere $\frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{10 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (10 - 2 x)}$

Schritt 3.19.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.4.1

Faktorisiere $2$ aus $10 - 2 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5) - 2 x)}$

Schritt 3.19.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5) + 2 (- x))}$

Schritt 3.19.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5) + 2 (- x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (5 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (5 - x))}$

Schritt 3.19.4.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.19.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (5 - x)}$

Schritt 3.19.4.2.2

Potenziere $5 - x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 ((5 - x) {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 3.19.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.19.4.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.19.4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 3.19.4.2.6

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.19.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.19.6

Schreibe $20$ als $- 1 (- 20)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.19.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 20)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.19.8

Schreibe $- (3 x - 20)$ als $- 1 (3 x - 20)$ um.

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 20)}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.19.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.19.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.19.11

Mutltipliziere $\frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 20}{4 {(5 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - x}$ als ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.1.2

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(5 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.8

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(5 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.8.3

Bringe ${(5 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 - x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.14

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 5.1.16

Mutltipliziere ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.17

Um ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.18

Kombiniere ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.20

Multipliziere ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.20.1

Bewege ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(5 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.21

Vereinfache ${(5 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (5 - x) \cdot 2}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $5 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (5 - x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 5 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{- x + 10 + 2 (- x)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 10 - 2 x}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.4

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 10)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.6

Schreibe $- (3 x - 10)$ als $- 1 (3 x - 10)$ um.

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 10)}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{3 x - 10}{2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x - 10 = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 10$

Schritt 6.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{3 x - 10}{2 \sqrt{{(5 - x)}^{1}}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{3 x - 10}{2 \sqrt{5 - x}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 10}{2 \sqrt{5 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{5 - x} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{5 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - x}$ als ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(5 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (5 - x) = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 5 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.6

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$20 - 4 x = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$20 - 4 x = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 20$

Schritt 7.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 20$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 20$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Schritt 7.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 20}{- 4}$

Schritt 7.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 4}$

Schritt 7.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.3.1

Dividiere $- 20$ durch $- 4$ .

$x = 5$

Schritt 7.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 - x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 - x < 0$

Schritt 7.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < - 5$

Schritt 7.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 5$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 7.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x > 5$

Schritt 7.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

$x \geq 5$

$[5, \infty)$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{10}{3}, 5$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{10}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3 (\frac{10}{3}) - 20}{4 {(5 - (\frac{10}{3}))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\frac{10}{3}) - 20}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 - 20}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $20$ von $10$ .

$\frac{- 10}{4 {(5 - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 10}{4 {(5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 10}{4 {(\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 10}{4 {(\frac{5 \cdot 3 - 10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{- 10}{4 {(\frac{15 - 10}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.4.2

Subtrahiere $10$ von $15$ .

$\frac{- 10}{4 {(\frac{5}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$\frac{- 10}{4 \frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 10.3

Kombiniere $4$ und $\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 10}{\frac{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 10 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$2 (- 5) \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 5^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$2 (- 5) \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 10.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 5 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 10.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- 5 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(5) \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.7.2

Bringe $5^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{- 1}}$

Schritt 10.8

Multipliziere $5^{\frac{3}{2}}$ mit $5^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.8.1

Bewege $5^{- 1}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 10.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Schritt 10.8.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 10.8.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 10.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Schritt 10.8.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.8.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Schritt 10.8.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

$x = \frac{10}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{10}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{10}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{10}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = (\frac{10}{3}) \sqrt{5 - (\frac{10}{3})}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}}$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}}$

Schritt 12.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 3 - 10}{3}}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{15 - 10}{3}}$

Schritt 12.2.4.2

Subtrahiere $10$ von $15$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \sqrt{\frac{5}{3}}$

Schritt 12.2.5

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{3}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ um.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Schritt 12.2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 12.2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 12.2.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 12.2.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 12.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 12.2.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 12.2.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 12.2.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

Schritt 12.2.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}$

Schritt 12.2.9

Multipliziere $\frac{10}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{3}$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10 \sqrt{15}}{3 \cdot 3}$

Schritt 12.2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = \frac{10 \sqrt{15}}{9}$

Schritt 12.2.10

Die endgültige Lösung ist $\frac{10 \sqrt{15}}{9}$ .

$y = \frac{10 \sqrt{15}}{9}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{3 (5) - 20}{4 {(5 - (5))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 {(5 - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0^{3}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3 (5) - 20}{4 \cdot 0}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3 (5) - 20}{0}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{3 (5) - 20}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 16