Algebra Beispiele

$y = - x^{2} + 6 x$ $4 y = 21 - x$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- x^{2} + 6 x$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $4 y = 21 - x$ durch $- x^{2} + 6 x$ .

$4 (- x^{2} + 6 x) = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $4 (- x^{2} + 6 x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- x^{2}) + 4 (6 x) = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere.

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Schritt 1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x^{2} + 4 (6 x) = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 1.2.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2

Löse in $- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} + 24 x + x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.1.2

Addiere $24 x$ und $x$ .

$- 4 x^{2} + 25 x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 25 x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} + 25 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2} + 25 x - 21$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- (4 x^{2}) + 25 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $25 x$ heraus.

$- (4 x^{2}) - (- 25 x) - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$- (4 x^{2}) - (- 25 x) - 1 \cdot 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - (- 25 x)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 25 x) - 1 \cdot 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2} - 25 x) - 1 (21)$ heraus.

$- (4 x^{2} - 25 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (4 x^{2} - 25 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 21 = 84$ und deren Summe gleich $b = - 25$ ist.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Faktorisiere $- 25$ aus $- 25 x$ heraus.

$- (4 x^{2} - 25 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Schreibe $- 25$ um als $- 4$ plus $- 21$

$- (4 x^{2} + (- 4 - 21) x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 x^{2} - 4 x - 21 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (4 x^{2} - 4 x - 21 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((4 x^{2} - 4 x) - 21 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (4 x (x - 1) - 21 (x - 1)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (4 x (x - 1) - 21 (x - 1)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$- ((x - 1) (4 x - 21)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- ((x - 1) (4 x - 21)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (4 x - 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (x - 1) (4 x - 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (x - 1) (4 x - 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = 1$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.6

Setze $4 x - 21$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $4 x - 21$ gleich $0$ .

$4 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.6.2

Löse $4 x - 21 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Addiere $21$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 21$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 21$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (4 x - 21) = 0$ wahr machen.

$x = 1, \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = 1, \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2} + 6 x$ durch $1$ .

$y = - {(1)}^{2} + 6 (1)$

$x = 1$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $- {(1)}^{2} + 6 (1)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - 1 \cdot 1 + 6 (1)$

$x = 1$

Schritt 3.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - 1 + 6 (1)$

$x = 1$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$y = - 1 + 6$

$x = 1$

$y = - 1 + 6$

$x = 1$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$y = 5$

$x = 1$

$y = 5$

$x = 1$

$y = 5$

$x = 1$

$y = 5$

$x = 1$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{21}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = - x^{2} + 6 x$ durch $\frac{21}{4}$ .

$y = - {(\frac{21}{4})}^{2} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- {(\frac{21}{4})}^{2} + 6 (\frac{21}{4})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{21}{4}$ an.

$y = - \frac{21^{2}}{4^{2}} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $21$ mit $2$ .

$y = - \frac{441}{4^{2}} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = - \frac{441}{16} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$y = - \frac{441}{16} + 2 (3) (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{441}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{21}{2 \cdot 2}))$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{441}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{21}{2 \cdot 2}))$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{441}{16} + 3 (\frac{21}{2})$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - \frac{441}{16} + 3 (\frac{21}{2})$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{21}{2}$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{3 \cdot 21}{2}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $21$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63}{2}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63}{2}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Um $\frac{63}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63}{2} \cdot \frac{8}{8}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{63}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63 \cdot 8}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63 \cdot 8}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 441 + 63 \cdot 8}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $63$ mit $8$ .

$y = \frac{- 441 + 504}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 4.2.1.5.2

Addiere $- 441$ und $504$ .

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 5)$

$(\frac{21}{4}, \frac{63}{16})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(1, 5), (\frac{21}{4}, \frac{63}{16})$

Gleichungsform:

$x = 1, y = 5$

$x = \frac{21}{4}, y = \frac{63}{16}$

Schritt 7