Algebra Beispiele

$y = x^{2} - 3$ , $y = x + 1$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} - 3 = x + 1$

Schritt 2

Löse $x^{2} - 3 = x + 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 - x = 1$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 - x - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$x^{2} - x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x + 1$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1} + y = x + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ .

$y = (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}) + 1$

Schritt 3.2

Setze $\frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ für $x$ in $y = (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}) + 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} + 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}) + 1$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}) + 1$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 + \sqrt{17} + 2}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ .

$y = (\frac{1 - \sqrt{17}}{2}) + 1$

Schritt 4.2

Setze $\frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ für $x$ in $y = (\frac{1 - \sqrt{17}}{2}) + 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} + 1$

Schritt 4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (\frac{1 - \sqrt{17}}{2}) + 1$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}) + 1$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 - \sqrt{17} + 2}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2})$

$(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}), (\frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$

Gleichungsform:

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, y = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

$x = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, y = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7