Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}]$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}})$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ als ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 24 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f' (x) = 24 (- {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$f' (x) = - 24 ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

Schritt 1.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

Schritt 1.1.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})$

Schritt 1.1.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{- 1.3 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ .

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 24$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} e^{- 1.3 x}$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 1.3 x$ .

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Schritt 1.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 1.3 x$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

Schritt 1.1.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 1.3 x$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 1.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.3 x$ nach $x$ gleich $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x))$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $- 72$ .

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 1.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \cdot 1)$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $e^{- 1.3 x}$ mit $1$ .

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Stelle die Faktoren von $93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$ um.

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2}$

Schritt 1.1.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} (\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

Schritt 1.1.6.3

Multipliziere $93.6 e^{- 1.3 x} \frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ .

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Schritt 1.1.6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ und $93.6$ .

$f' (x) = \frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}} \cdot e^{- 1.3 x}$

Schritt 1.1.6.3.2

Kombiniere $\frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ und $e^{- 1.3 x}$ .

$f' (x) = \frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $93.6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ nach $x$ gleich $93.6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 93.6 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{- 1.3 x}$ und $g (x) = {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 1.3 x$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.5

Differenziere.

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Schritt 1.2.5.1

Da $- 1.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.3 x$ nach $x$ gleich $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \cdot 1) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.3.1

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} \cdot - 1.3 - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.5.3.2

Bringe $- 1.3$ auf die linke Seite von ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 \cdot ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.7

Differenziere.

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Schritt 1.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.7.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.7.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.7.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{- 1.3 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.7.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.7.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} (3 \cdot (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.7.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 1.3 x$ .

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Schritt 1.2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x - 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.10

Subtrahiere $1.3 x$ von $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.11

Da $- 1.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1.3 x$ nach $x$ gleich $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (- 1.3 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.12

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \cdot 1)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.14.1

Mutltipliziere $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

Schritt 1.2.14.2

Kombiniere $93.6$ und $\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15

Vereinfache.

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Schritt 1.2.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1 + 7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.15.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.15.3.1.1

Schreibe ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ als $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ um.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.2

Multipliziere $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.15.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.15.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.15.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $3 e^{- 1.3 x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.1.5

Multipliziere $e^{- 1.3 x}$ mit $e^{- 1.3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.15.3.1.3.1.5.1

Bewege $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}))) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x - 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.1.5.3

Subtrahiere $1.3 x$ von $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.3.2

Addiere $3 e^{- 1.3 x}$ und $3 e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 6 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 \cdot 1 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.15.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1.3$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.5.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1.3$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.2.15.3.1.7.1

Multipliziere $e^{- 1.3 x}$ mit $e^{- 1.3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.15.3.1.7.1.1

Bewege $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}) - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x - 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.7.1.3

Subtrahiere $1.3 x$ von $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.7.2

Multipliziere $e^{- 2.6 x}$ mit $e^{- 1.3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.15.3.1.7.2.1

Bewege $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x})) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 1.3 x - 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.7.2.3

Subtrahiere $2.6 x$ von $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x}) + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.2.15.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 7.8$ mit $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.9.3

Mutltipliziere $- 11.7$ mit $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.10

Mutltipliziere $7.8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.11

Mutltipliziere $7.8$ mit $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.12

Multipliziere $e^{- 2.6 x}$ mit $e^{- 1.3 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.15.3.1.12.1

Bewege $e^{- 1.3 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x}) \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 1.3 x - 2.6 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.12.3

Subtrahiere $2.6 x$ von $- 1.3 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 3.9 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.13

Mutltipliziere $3$ mit $7.8$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (23.4 e^{- 3.9 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.1.14

Mutltipliziere $23.4$ mit $93.6$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.2

Addiere $- 730.08 e^{- 2.6 x}$ und $730.08 e^{- 2.6 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $e^{- 2.6 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.4

Addiere $- 121.68 e^{- 1.3 x}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.3.5

Addiere $- 1095.12 e^{- 3.9 x}$ und $2190.24 e^{- 3.9 x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 1095.12 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

Schritt 1.2.15.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.15.5

Faktorisiere $121.68$ aus $1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}$ heraus.

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Schritt 1.2.15.5.1

Faktorisiere $121.68$ aus $1095.12 e^{- 3.9 x}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.15.5.2

Faktorisiere $121.68$ aus $- 121.68 e^{- 1.3 x}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.2.15.5.3

Faktorisiere $121.68$ aus $121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ durch $121.68$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ durch $121.68$ .

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $121.68$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}$ durch $1$ .

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = \frac{0}{121.68}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $121.68$ .

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = 0$

Schritt 2.3.2

Bringe $- e^{- 1.3 x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$9 e^{- 3.9 x} = e^{- 1.3 x}$

Schritt 2.3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (9 e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

Schritt 2.3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $\ln (9 e^{- 3.9 x})$ als $\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x})$ um.

$\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

Schritt 2.3.4.2

Zerlege $\ln (e^{- 3.9 x})$ durch Herausziehen von $- 3.9 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (9) - 3.9 x \ln (e) = \ln (e^{- 1.3 x})$

Schritt 2.3.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x \cdot 1 = \ln (e^{- 1.3 x})$

Schritt 2.3.4.4

Mutltipliziere $- 3.9$ mit $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x = \ln (e^{- 1.3 x})$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 2.3.5.1

Zerlege $\ln (e^{- 1.3 x})$ durch Herausziehen von $- 1.3 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \ln (e)$

Schritt 2.3.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \cdot 1$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $1$ .

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x$

Schritt 2.3.6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $1.3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (9) - 3.9 x + 1.3 x = 0$

Schritt 2.3.6.2

Addiere $- 3.9 x$ und $1.3 x$ .

$\ln (9) - 2.6 x = 0$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $\ln (9)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2.6 x = - \ln (9)$

Schritt 2.3.8

Teile jeden Ausdruck in $- 2.6 x = - \ln (9)$ durch $- 2.6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2.6 x = - \ln (9)$ durch $- 2.6$ .

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

Schritt 2.3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2.6$ .

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Schritt 2.3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

Schritt 2.3.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

Schritt 2.3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.8.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\ln (9)}{2.6}$

Schritt 2.3.8.3.2

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$x = \frac{\log_{2.71828182} (9)}{2.6}$

Schritt 2.3.8.3.3

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $9$ ist ungefähr $2.19722457$ .

$x = \frac{2.19722457}{2.6}$

Schritt 2.3.8.3.4

Dividiere $2.19722457$ durch $2.6$ .

$x = 0.84508637$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0.84508637$ in $f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.84508637$ .

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 \cdot 0.84508637}}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $0.84508637$ .

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.09861228}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 (\frac{1}{e^{1.09861228}})}$

Schritt 3.1.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{e^{1.09861228}}$ .

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

Schritt 3.1.2.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228}} + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

Schritt 3.1.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228} + 3}{e^{1.09861228}}}$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (0.84508637) = 24 (\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $24$ und $\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ .

$f (0.84508637) = \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ .

$\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.84508637$ in $f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ ermittelt werden kann, ist $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0.84508637) \cup (0.84508637, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0.84508637)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.74508637$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $121.68$ mit $9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $0.74508637$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 0.96861228} + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 (\frac{1}{e^{0.96861228}}) + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{e^{0.96861228}}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + \frac{e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

Schritt 5.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

Schritt 5.2.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}}$ an.

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{{(e^{0.96861228})}^{4}}}$

Schritt 5.2.2.7

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{0.96861228})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{0.96861228 \cdot 4}}}$

Schritt 5.2.2.7.2

Mutltipliziere $0.96861228$ mit $4$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{3.87444915}}}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (0.74508637) = 13.71546177 (\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}})$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $13.71546177 \frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $13.71546177$ und $\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177 e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $13.71546177$ mit $e^{3.87444915}$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

Schritt 5.2.5

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + {2.71828182}^{0.96861228})}^{4}}$

Schritt 5.2.6

Potenziere $2.71828182$ mit $0.96861228$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + 2.63428629)}^{4}}$

Schritt 5.2.7

Addiere $3$ und $2.63428629$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{5.63428629}^{4}}$

Schritt 5.2.8

Potenziere $5.63428629$ mit $4$ .

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{1007.75658204}$

Schritt 5.2.9

Dividiere $660.48403172$ durch $1007.75658204$ .

$f'' (0.74508637) = 0.65540036$

Schritt 5.2.10

Die endgültige Lösung ist $0.65540036$ .

$0.65540036$

Schritt 5.3

Bei $0.74508637$ ist die zweite Ableitung $0.65540036$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0.84508637)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0.84508637)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.84508637, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.94508637$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $121.68$ mit $9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1.3$ mit $0.94508637$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.22861228} + 1)}^{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 (\frac{1}{e^{1.22861228}}) + 1)}^{4}}$

Schritt 6.2.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{e^{1.22861228}}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + 1)}^{4}}$

Schritt 6.2.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + \frac{e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

Schritt 6.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

Schritt 6.2.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}}$ an.

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{{(e^{1.22861228})}^{4}}}$

Schritt 6.2.2.7

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{1.22861228})}^{4}$ .

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Schritt 6.2.2.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{1.22861228 \cdot 4}}}$

Schritt 6.2.2.7.2

Mutltipliziere $1.22861228$ mit $4$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{4.91444915}}}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (0.94508637) = - 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Schritt 6.2.4

Multipliziere $- 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Kombiniere $- 8.15412384$ und $\frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384 e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 8.15412384$ mit $e^{4.91444915}$ .

$f'' (0.94508637) = \frac{- 1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Schritt 6.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

Schritt 6.2.6

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + {2.71828182}^{1.22861228})}^{4}}$

Schritt 6.2.7

Potenziere $2.71828182$ mit $1.22861228$ .

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + 3.41648514)}^{4}}$

Schritt 6.2.8

Addiere $3$ und $3.41648514$ .

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{6.41648514}^{4}}$

Schritt 6.2.9

Potenziere $6.41648514$ mit $4$ .

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{1695.07443516}$

Schritt 6.2.10

Dividiere $1110.95240355$ durch $1695.07443516$ .

$f'' (0.94508637) = - 1 \cdot 0.65540036$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.65540036$ .

$f'' (0.94508637) = - 0.65540036$

Schritt 6.2.12

Die endgültige Lösung ist $- 0.65540036$ .

$- 0.65540036$

Schritt 6.3

Bei $0.94508637$ , die zweite Ableitung ist $- 0.65540036$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0.84508637, \infty)$

Abfallend im Intervall $(0.84508637, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ .

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

Schritt 8