Algebra Beispiele

$y = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x^{2}}$ als ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.8.3

Bringe ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 - x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.1.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.20.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.1.1.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 2.1.1.23

Mutltipliziere ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.1.24

Um ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.26

Multipliziere ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1.26.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.26.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.26.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.27

Vereinfache ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 - x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.28

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.1.29

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - 2 x^{2} + 2$ und $g (x) = {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.4.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.4.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.4.6

Addiere $- 4 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = - x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.2.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{{(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.10.3

Bringe ${(- x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 2))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (2)))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.15

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.16

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.16.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.16.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.16.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.16.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.17

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.17.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.17.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{- x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.20

Mutltipliziere $- 2 x^{2} + 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.21.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.21.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 2) (\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.2

Mutltipliziere $- 2 x^{2} + 2$ mit $\frac{x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.21.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 2$ heraus.

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Schritt 2.1.2.21.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (1)) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 1^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.3.3

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1^{2} - x^{2}) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.4

Um $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.5

Kombiniere $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ und $\frac{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7

Schreibe $\frac{- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.2.21.1.7.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + 2 (1 + x) (1 - x) x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.21.1.7.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (1 + x) (1 - x) x}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $2 (1 + x) (1 - x) x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x ((1 + x) (1 - x))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.2.21.1.7.2.1

Multipliziere ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.21.1.7.2.1.1

Bewege ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.2.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.7.2.2

Vereinfache $- 2 {(- x^{2} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 2) + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.21.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 2 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + (1 + x) (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.4

Multipliziere $(1 + x) (1 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.21.1.8.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1.2

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x + x (- x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x \cdot x)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - (x \cdot x))}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x + x - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 + 0 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.5.3

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 4 + 1 - x^{2})}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.6

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 4 + 1)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.1.8.7

Addiere $- 4$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.2.21.2.1

Schreibe $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 2}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 2}$

Schritt 2.1.2.21.2.2

Mutltipliziere $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{- x^{2} + 2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Schritt 2.1.2.21.2.3

Multipliziere ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit $- x^{2} + 2$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.21.2.3.1

Mutltipliziere ${(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ mit $- x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.1.2.21.2.3.1.1

Potenziere $- x^{2} + 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 2)}$

Schritt 2.1.2.21.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.1.2.21.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.1.2.21.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.1.2.21.2.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 2.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.2.3.3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.2.3.3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.2.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 - x^{2} \geq 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 2$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Schritt 3.2.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 3.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{2}$

Schritt 3.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 3.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{2}$

Schritt 3.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 3.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 3.2.7

Löse $- x \leq \sqrt{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 3.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 3.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 3.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 3.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 3.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$x \geq - \sqrt{2}$

Schritt 3.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{2}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Schritt 3.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Intervallschreibweise:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Schritt 4

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$[- \sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2}]$

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $[- \sqrt{2}, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{((- 1) {(- 1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{1 + 2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} - 3)}{1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 - 3)}{1}$

Schritt 5.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot - 2}{1}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (- 1) = \frac{4}{1}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$f'' (- 1) = 4$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $[- \sqrt{2}, 0)$ konvex, weil $f'' (- 1)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $[- \sqrt{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \sqrt{2}]$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{(- {(1)}^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{{(- 1 + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} - 3)}{1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = \frac{2 (1 - 3)}{1}$

Schritt 6.2.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot - 2}{1}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (1) = \frac{- 4}{1}$

Schritt 6.2.4.2

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$f'' (1) = - 4$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \sqrt{2}]$ konkav, weil $f'' (1)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, \sqrt{2}]$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $[- \sqrt{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, \sqrt{2}]$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 8