Algebra Beispiele

$y = \sqrt[3]{x} + 1$ ; $[0, 1]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sqrt[3]{x} + 1 = 0$

Schritt 1.2

Löse $\sqrt[3]{x} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{x} = - 1$

Schritt 1.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 1$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\sqrt[3]{x} + 1$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} d x$

Schritt 3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} d x$

Schritt 3.6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + x]_{0}^{1}$

Schritt 3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.7.1

Kombiniere $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1}$ und $x]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x]_{0}^{1}$

Schritt 3.7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + 1) - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.7.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{4} \cdot 1 + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4} + \frac{4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 + 4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.5

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.6

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 0)$

Schritt 3.7.2.2.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0 + 0)$

Schritt 3.7.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $0$ .

$\frac{7}{4} - (0 + 0)$

Schritt 3.7.2.2.11

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{7}{4} - 0$

Schritt 3.7.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{7}{4} + 0$

Schritt 3.7.2.2.13

Addiere $\frac{7}{4}$ und $0$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 4