Algebra Beispiele

$f (x) = {(x^{2} + 6)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (6))$

Schritt 1.2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 6)}^{3} (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Faktoren von $8 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ um.

$f' (x) = 8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x {(x^{2} + 6)}^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 6)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 6)}^{3})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 6)}^{3}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 6)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} + 6)}^{2} x) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere ${(x^{2} + 6)}^{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2}) + {(x^{2} + 6)}^{3})$

Schritt 2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} + 6)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Schritt 2.11.3

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ aus $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2} + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ heraus.

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Schritt 2.11.3.1

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ aus $48 x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{3}$

Schritt 2.11.3.2

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ aus $8 {(x^{2} + 6)}^{3}$ heraus.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.3.3

Faktorisiere $8 {(x^{2} + 6)}^{2}$ aus $8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (x^{2} + 6)$ heraus.

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.4

Addiere $6 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 6)}^{2} (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.5

Schreibe ${(x^{2} + 6)}^{2}$ als $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ um.

$f'' (x) = 8 ((x^{2} + 6) (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.6

Multipliziere $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.11.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} + 6) + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 (x^{2} + 6)) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.11.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.7.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.7.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.7.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.7.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.7.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.7.2

Addiere $6 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 12 x^{2} + 36) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (12 x^{2}) + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.9

Vereinfache.

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Schritt 2.11.9.1

Mutltipliziere $12$ mit $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 8 \cdot 36) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.9.2

Mutltipliziere $8$ mit $36$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$

Schritt 2.11.10

Multipliziere $(8 x^{4} + 96 x^{2} + 288) (7 x^{2} + 6)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.11.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.3

Mutltipliziere $8$ mit $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 6 + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.4

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 x^{2} (7 x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2} x^{2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.11.11.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{2 + 2}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.6.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 96 \cdot (7 x^{4}) + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.7

Mutltipliziere $96$ mit $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 96 x^{2} \cdot 6 + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.8

Mutltipliziere $6$ mit $96$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 288 (7 x^{2}) + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.9

Mutltipliziere $7$ mit $288$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 288 \cdot 6$

Schritt 2.11.11.10

Mutltipliziere $288$ mit $6$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 48 x^{4} + 672 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Schritt 2.11.12

Addiere $48 x^{4}$ und $672 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 576 x^{2} + 2016 x^{2} + 1728$

Schritt 2.11.13

Addiere $576 x^{2}$ und $2016 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$ .

$56 x^{6} + 720 x^{4} + 2592 x^{2} + 1728$