Algebra Beispiele

$(- 3, \frac{343}{64})$

Schritt 1

Um eine Exponentialfunktion, $f (x) = a^{x}$ , zu ermitteln, die den Punkt enthält, setze $f (x)$ in der Funktion gleich dem $y$ -Wert $\frac{343}{64}$ des Punktes und setze $x$ gleich dem $x$ -Wert $- 3$ des Punktes.

$\frac{343}{64} = a^{- 3}$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $a^{- 3} = \frac{343}{64}$ um.

$a^{- 3} = \frac{343}{64}$

Schritt 2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a^{3}, 64$

Schritt 2.3.2

Since $a^{3}, 64$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 64$ then find LCM for the variable part $a^{3}$ .

Schritt 2.3.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.3.5

Die Primfaktoren von $64$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.5.1

$64$ hat Faktoren von $2$ und $32$ .

$2 \cdot 32$

Schritt 2.3.5.2

$32$ hat Faktoren von $2$ und $16$ .

$2 \cdot 2 \cdot 16$

Schritt 2.3.5.3

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8$

Schritt 2.3.5.4

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 2.3.5.5

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.6.4

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$32 \cdot 2$

Schritt 2.3.6.5

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$64$

Schritt 2.3.7

Die Teiler von $a^{3}$ sind $a \cdot a \cdot a$ , was $a$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

$a$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 2.3.8

Das kgV von $a^{3}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a \cdot a \cdot a$

Schritt 2.3.9

Vereinfache $a \cdot a \cdot a$ .

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} \cdot a$

Schritt 2.3.9.2

Multipliziere $a^{2}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.9.2.1

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 2.3.9.2.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1}$

Schritt 2.3.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2 + 1}$

Schritt 2.3.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$a^{3}$

Schritt 2.3.10

Das kgV von $a^{3}, 64$ ist der numerische Teil $64$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$64 a^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ mit $64 a^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ mit $64 a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} (64 a^{3}) = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$64 \frac{1}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $64$ und $\frac{1}{a^{3}}$ .

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Schritt 2.4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 2.4.3.1.1

Faktorisiere $64$ aus $64 a^{3}$ heraus.

$64 = \frac{343}{64} (64 (a^{3}))$

Schritt 2.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Schritt 2.4.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$64 = 343 a^{3}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $343 a^{3} = 64$ um.

$343 a^{3} = 64$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$343 a^{3} - 64 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.3.1

Schreibe $343 a^{3}$ als ${(7 a)}^{3}$ um.

${(7 a)}^{3} - 64 = 0$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

${(7 a)}^{3} - 4^{3} = 0$

Schritt 2.5.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 7 a$ und $b = 4$ .

$(7 a - 4) ({(7 a)}^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.5.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.4.1

Wende die Produktregel auf $7 a$ an.

$(7 a - 4) (7^{2} a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.5.3.4.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.5.3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 4^{2}) = 0$

Schritt 2.5.3.4.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$

Schritt 2.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 a - 4 = 0$

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Schritt 2.5.5

Setze $7 a - 4$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.5.1

Setze $7 a - 4$ gleich $0$ .

$7 a - 4 = 0$

Schritt 2.5.5.2

Löse $7 a - 4 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 a = 4$

Schritt 2.5.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 a = 4$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 a = 4$ durch $7$ .

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 2.5.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.5.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Schritt 2.5.5.2.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{4}{7}$

Schritt 2.5.6

Setze $49 a^{2} + 28 a + 16$ gleich $0$ und löse nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.6.1

Setze $49 a^{2} + 28 a + 16$ gleich $0$ .

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Schritt 2.5.6.2

Löse $49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$ nach $a$ auf.

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Schritt 2.5.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.6.2.2

Setze die Werte $a = 49$ , $b = 28$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 16)}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.1

Potenziere $28$ mit $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Schritt 2.5.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 196$ mit $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.3

Subtrahiere $3136$ von $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.4

Schreibe $- 2352$ als $- 1 (2352)$ um.

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2352)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ um.

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7

Schreibe $2352$ als $28^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $784$ aus $2352$ heraus.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.7.2

Schreibe $784$ als $28^{2}$ um.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.9

Bringe $28$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Schritt 2.5.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.1

Potenziere $28$ mit $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Schritt 2.5.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 196$ mit $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.3

Subtrahiere $3136$ von $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.4

Schreibe $- 2352$ als $- 1 (2352)$ um.

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2352)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ um.

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7

Schreibe $2352$ als $28^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $784$ aus $2352$ heraus.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.7.2

Schreibe $784$ als $28^{2}$ um.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.9

Bringe $28$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Schritt 2.5.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.4.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$a = \frac{- 1 \cdot 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (- 2 i \sqrt{3})}{7}$

Schritt 2.5.6.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (- 2 i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{- 1 (2 - 2 i \sqrt{3})}{7}$

Schritt 2.5.6.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.1

Potenziere $28$ mit $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Schritt 2.5.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 196$ mit $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.3

Subtrahiere $3136$ von $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.4

Schreibe $- 2352$ als $- 1 (2352)$ um.

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (2352)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ um.

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7

Schreibe $2352$ als $28^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $784$ aus $2352$ heraus.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.7.2

Schreibe $784$ als $28^{2}$ um.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.9

Bringe $28$ auf die linke Seite von $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Schritt 2.5.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Schritt 2.5.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.5.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 i \sqrt{3}$ heraus.

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (2 i \sqrt{3})}{7}$

Schritt 2.5.6.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (2 i \sqrt{3})$ heraus.

$a = \frac{- 1 (2 + 2 i \sqrt{3})}{7}$

Schritt 2.5.6.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$ wahr machen.

$a = \frac{4}{7}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Schritt 2.6

Entferne alle Werte, die imaginäre Komponenten enthalten.

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Schritt 2.6.1

Es gibt keine imaginären Komponenten. Addiere $\frac{4}{7}$ zum endgültigen Ergebnis.

$\frac{4}{7}$ ist eine reelle Zahl

Schritt 2.6.2

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.6.3

Der Buchstabe $i$ stellt eine imaginäre Komponente dar und ist keine reelle Zahl. Addiere $- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ nicht zur endgültigen Lösung.

$- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ ist keine reelle Zahl

Schritt 2.6.4

Die endgültige Lösung ist die Liste der Werte, die keine imaginären Komponenten enthalten.

$a = \frac{4}{7}$

Schritt 3

Setze jeden Wert für $a$ erneut in die Funktion $f (x) = a^{x}$ ein, um jede mögliche Exponentialfunktion zu ermitteln.

$f (x) = {(\frac{4}{7})}^{x}$