Algebra Beispiele

$f (x) = - 2 x^{4} + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 2 x + 8$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{4} + 2 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{4}$ heraus.

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $2 x$ heraus.

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{3}) - 2 x (- 1)$ heraus.

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1^{3}) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ , mit $a = x$ und $i = 1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 5.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Schritt 6

Faktorisiere $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 13$

Schritt 6.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{076923}, \pm 8, \pm 0.\overline{615384}, \pm 2, \pm 0.\overline{153846}, \pm 4, \pm 0.\overline{307692}$

Schritt 6.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$f (x) = 13 \cdot 1^{3} - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Schritt 6.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$f (x) = 13 \cdot 1 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Schritt 6.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1 + 8$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 21$ mit $1$ .

$f (x) = 13 - 21 + 8$

Schritt 6.3.6

Subtrahiere $21$ von $13$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Schritt 6.3.7

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (x) = 0$

Schritt 6.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{13 x^{3} - 21 x^{2} + 8}{x - 1}$

Schritt 6.5

Dividiere $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ durch $x - 1$ .

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Schritt 6.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 6.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $13 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 6.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 6.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $13 x^{3} - 13 x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 6.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 6.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 6.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 6.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 6.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 8 x$

$f (x) =$

Schritt 6.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 6.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 6.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$f (x) =$

Schritt 6.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 6.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x + 8$

$f (x) =$

Schritt 6.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 6.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = 13 x^{2} - 8 x - 8$

Schritt 6.6

Schreibe $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 7

Faktorisiere $x - 1$ aus $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ heraus.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ heraus.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1) + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 9.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 9.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 9.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1

Bewege $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Schritt 10

Addiere $- 2 x^{2}$ und $13 x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 2 x - 8 x - 8)$

Schritt 11

Subtrahiere $8 x$ von $- 2 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8)$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Schreibe $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 12.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 12.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Schritt 12.1.1.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 12.1.1.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$f (x) = - 2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 12.1.1.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$f (x) = - 2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 12.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.125$ .

$f (x) = 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 12.1.1.3.4

Potenziere $- 0.5$ mit $2$ .

$f (x) = 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 12.1.1.3.5

Mutltipliziere $11$ mit $0.25$ .

$f (x) = 0.25 + 2.75 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 12.1.1.3.6

Addiere $0.25$ und $2.75$ .

$f (x) = 3 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Schritt 12.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 0.5$ .

$f (x) = 3 + 5 - 8$

Schritt 12.1.1.3.8

Addiere $3$ und $5$ .

$f (x) = 8 - 8$

Schritt 12.1.1.3.9

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (x) = 0$

Schritt 12.1.1.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8}{2 x + 1}$

Schritt 12.1.1.5

Dividiere $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 12.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{2} + 6 x$

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x - 8$

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$f (x) =$

Schritt 12.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Schritt 12.1.1.6

Schreibe $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 x - 8))$

Schritt 12.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 12.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 12.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + i x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ und deren Summe gleich $i = 6$ ist.

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Schritt 12.1.2.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 (x) - 8))$

Schritt 12.1.2.1.1.2

Schreibe $6$ um als $2$ plus $4$

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8))$

Schritt 12.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8))$

Schritt 12.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 12.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8))$

Schritt 12.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)))$

Schritt 12.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x + 2) (x - 4)))$

Schritt 12.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x + 2) (x - 4))$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x - 1) (2 x + 1) (- x + 2) (x - 4)$