Algebra Beispiele

$3 x + 6 y + 6 z = 12$ , $- 3 x - 6 y - 6 z = - 12$ , $5 x + 10 y + 10 z = 20$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 12 \\ 20 \end{array}]$

Schritt 2

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $[\begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 & 6 \\ - 3 & - 6 & - 6 \\ 5 & 10 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.2

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 2.2.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.2.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.2.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.2.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.2.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.2.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$3 | \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne $| \begin{array}{c} - 6 & - 6 \\ 10 & 10 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 (- 6 \cdot 10 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $10$ .

$3 (- 60 - 10 \cdot - 6) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 6$ .

$3 (- 60 + 60) - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 60$ und $60$ .

$3 \cdot 0 - 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot 0 - 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 - 5 \cdot - 6) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 (- 30 + 30) + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $- 30$ und $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 | \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} - 3 & - 6 \\ 5 & 10 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 3 \cdot 10 - 5 \cdot - 6)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 - 5 \cdot - 6)$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 6$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 (- 30 + 30)$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $- 30$ und $30$ .

$3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Schritt 2.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0$

Schritt 2.6.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 6 \cdot 0$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 2.6.3

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

$D = 0$

Schritt 3

Da die Determinante $0$ ist, kann das System nicht mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.