Algebra Beispiele

$7 x + 4 y = 5$ , $- x + 2 y = - 2$

Schritt 1

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \end{array}]$

Schritt 2

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix $[\begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 1 & 2 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $[\begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 1 & 2 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

$| \begin{array}{c} 7 & 4 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$7 \cdot 2 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 2.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$14 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$14 - - 4$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$14 + 4$

Schritt 2.3.2

Addiere $14$ und $4$ .

$18$

$D = 18$

Schritt 3

Da die Determinante nicht $0$ ist, kann das System mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.

Schritt 4

Ermittle den Wert von $x$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze die Spalte $1$ der Koeffizientenmatrix, die den $x$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ - 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 4.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot 2 - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 4.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$10 - - 8$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$10 + 8$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $10$ und $8$ .

$18$

$D_{x} = 18$

Schritt 4.3

Wende die Formel an, um $x$ zu lösen.

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 4.4

Setze $18$ für $D$ und $18$ für $D_{x}$ in die Formel ein.

$x = \frac{18}{18}$

Schritt 4.5

Dividiere $18$ durch $18$ .

$x = 1$

Schritt 5

Ermittle den Wert von $y$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze die Spalte $2$ der Koeffizientenmatrix, die den $y$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 5 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 7 & 5 \\ - 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$7 \cdot - 2 - (- 1 \cdot 5)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$- 14 - (- 1 \cdot 5)$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 14 - - 5$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- 14 + 5$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 14$ und $5$ .

$- 9$

$D_{y} = - 9$

Schritt 5.3

Wende die Formel an, um $y$ zu lösen.

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 5.4

Setze $18$ für $D$ und $- 9$ für $D_{y}$ in die Formel ein.

$y = \frac{- 9}{18}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $18$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$y = \frac{9 (- 1)}{18}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$y = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 2}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = 1$

$y = - \frac{1}{2}$