Algebra Beispiele

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} = 15$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}$ .

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}) = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}) = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1} + 15 (2 \sqrt{R_{1}})$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1} + 30 \sqrt{R_{1}}$

Schritt 3

Löse nach $R_{1}$ auf.

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Schritt 3.1

Löse nach $\sqrt{R_{1}}$ auf.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $30 \sqrt{R_{1}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} - 30 \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2 \sqrt{R_{1}}$ aus $2 R_{1} \sqrt{R_{1}} - 30 \sqrt{R_{1}}$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $2 \sqrt{R_{1}}$ aus $2 R_{1} \sqrt{R_{1}}$ heraus.

$2 \sqrt{R_{1}} R_{1} - 30 \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1}$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $2 \sqrt{R_{1}}$ aus $- 30 \sqrt{R_{1}}$ heraus.

$2 \sqrt{R_{1}} R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}} \cdot - 15 = 15 R_{1}$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $2 \sqrt{R_{1}}$ aus $2 \sqrt{R_{1}} R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}} \cdot - 15$ heraus.

$2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$

Schritt 3.1.3

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$ durch $2 (R_{1} - 15)$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$ durch $2 (R_{1} - 15)$ .

$\frac{2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{2 (R_{1} - 15)} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{2 (R_{1} - 15)} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Schritt 3.1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{R_{1} - 15} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Schritt 3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $R_{1} - 15$ .

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Schritt 3.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{R_{1} - 15} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Schritt 3.1.3.2.2.2

Dividiere $\sqrt{R_{1}}$ durch $1$ .

$\sqrt{R_{1}} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{R_{1}}}^{2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{R_{1}}$ als ${R_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${R_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${R_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${R_{1}}^{1} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$R_{1} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache ${(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$ an.

$R_{1} = \frac{{(15 R_{1})}^{2}}{{(2 (R_{1} - 15))}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $15 R_{1}$ an.

$R_{1} = \frac{15^{2} {R_{1}}^{2}}{{(2 (R_{1} - 15))}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 (R_{1} - 15)$ an.

$R_{1} = \frac{15^{2} {R_{1}}^{2}}{2^{2} {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{2^{2} {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Schritt 3.4

Löse nach $R_{1}$ auf.

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Schritt 3.4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 4 {(R_{1} - 15)}^{2}$

Schritt 3.4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$4 {(R_{1} - 15)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Multipliziere jeden Term in $R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$ mit $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere jeden Term in $R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$ mit $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ .

$R_{1} (4 {(R_{1} - 15)}^{2}) = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} (4 {(R_{1} - 15)}^{2})$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} (4 {(R_{1} - 15)}^{2})$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Schritt 3.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ heraus.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Schritt 3.4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Schritt 3.4.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{{(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Schritt 3.4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(R_{1} - 15)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{{(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Schritt 3.4.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 225 {R_{1}}^{2}$

Schritt 3.4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Bringe alle Terme, die $R_{1}$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1.1

Subtrahiere $225 {R_{1}}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Schreibe ${(R_{1} - 15)}^{2}$ als $(R_{1} - 15) (R_{1} - 15)$ um.

$4 R_{1} ((R_{1} - 15) (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Multipliziere $(R_{1} - 15) (R_{1} - 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 R_{1} (R_{1} (R_{1} - 15) - 15 (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 R_{1} (R_{1} R_{1} + R_{1} \cdot - 15 - 15 (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 R_{1} (R_{1} R_{1} + R_{1} \cdot - 15 - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $R_{1}$ mit $R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} + R_{1} \cdot - 15 - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.3.1.2

Bringe $- 15$ auf die linke Seite von $R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 15 \cdot R_{1} - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 15$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 15 R_{1} - 15 R_{1} + 225) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.3.2

Subtrahiere $15 R_{1}$ von $- 15 R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 30 R_{1} + 225) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 R_{1} {R_{1}}^{2} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1.2.5.1

Multipliziere $R_{1}$ mit ${R_{1}}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1.2.5.1.1

Bewege ${R_{1}}^{2}$ .

$4 ({R_{1}}^{2} R_{1}) + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.5.1.2

Mutltipliziere ${R_{1}}^{2}$ mit $R_{1}$ .

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Schritt 3.4.3.1.2.5.1.2.1

Potenziere $R_{1}$ mit $1$ .

$4 ({R_{1}}^{2} {R_{1}}^{1}) + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 {R_{1}}^{2 + 1} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.5.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 R_{1} R_{1} + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.5.3

Mutltipliziere $225$ mit $4$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 R_{1} R_{1} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.6.1

Multipliziere $R_{1}$ mit $R_{1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.1.2.6.1.1

Bewege $R_{1}$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 (R_{1} R_{1}) + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $R_{1}$ mit $R_{1}$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 30$ .

$4 {R_{1}}^{3} - 120 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Schritt 3.4.3.1.3

Subtrahiere $225 {R_{1}}^{2}$ von $- 120 {R_{1}}^{2}$ .

$4 {R_{1}}^{3} - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} = 0$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $R_{1}$ aus $4 {R_{1}}^{3} - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1}$ heraus.

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Schritt 3.4.3.2.1

Faktorisiere $R_{1}$ aus $4 {R_{1}}^{3}$ heraus.

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} = 0$

Schritt 3.4.3.2.2

Faktorisiere $R_{1}$ aus $- 345 {R_{1}}^{2}$ heraus.

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1}) + 900 R_{1} = 0$

Schritt 3.4.3.2.3

Faktorisiere $R_{1}$ aus $900 R_{1}$ heraus.

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900 = 0$

Schritt 3.4.3.2.4

Faktorisiere $R_{1}$ aus $R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1})$ heraus.

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900 = 0$

Schritt 3.4.3.2.5

Faktorisiere $R_{1}$ aus $R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900$ heraus.

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900) = 0$

Schritt 3.4.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$R_{1} = 0$

$4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$

Schritt 3.4.3.4

Setze $R_{1}$ gleich $0$ .

$R_{1} = 0$

Schritt 3.4.3.5

Setze $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900$ gleich $0$ und löse nach $R_{1}$ auf.

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Schritt 3.4.3.5.1

Setze $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900$ gleich $0$ .

$4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$

Schritt 3.4.3.5.2

Löse $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$ nach $R_{1}$ auf.

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Schritt 3.4.3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.3.5.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 345$ und $c = 900$ in die Quadratformel ein und löse nach $R_{1}$ auf.

$\frac{345 \pm \sqrt{{(- 345)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 900)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.4.3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.3.5.2.3.1.1

Potenziere $- 345$ mit $2$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 4 \cdot 4 \cdot 900}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 900$ .

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Schritt 3.4.3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 16 \cdot 900}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $900$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 14400}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3.1.3

Subtrahiere $14400$ von $119025$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{104625}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3.1.4

Schreibe $104625$ als $15^{2} \cdot 465$ um.

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Schritt 3.4.3.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $225$ aus $104625$ heraus.

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{225 (465)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3.1.4.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{15^{2} \cdot 465}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$R_{1} = \frac{345 \pm 15 \sqrt{465}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.3.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm 15 \sqrt{465}}{8}$

Schritt 3.4.3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}, \frac{345 - 15 \sqrt{465}}{8}$

Schritt 3.4.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900) = 0$ wahr machen.

$R_{1} = 0, \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}, \frac{345 - 15 \sqrt{465}}{8}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} = 15$ nicht erfüllen.

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}$

Dezimalform:

$R_{1} = 83.55723497 \dots$