Algebra Beispiele

$\log_{3} (18 x^{3}) - \log_{3} (2 x) = \log_{3} (144)$

Schritt 1

Subtrahiere $\log_{3} (144)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{3} (18 x^{3}) - \log_{3} (2 x) - \log_{3} (144) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\log_{3} (18 x^{3}) - \log_{3} (2 x) - \log_{3} (144)$ .

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Schritt 2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{18 x^{3}}{2 x}) - \log_{3} (144) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{18 x^{3}}{2 x}}{144}) = 0$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{2 (9 x^{3})}{2 x}}{144}) = 0$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{2 (9 x^{3})}{2 (x)}}{144}) = 0$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{\frac{2 (9 x^{3})}{2 x}}{144}) = 0$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x^{3}}{x}}{144}) = 0$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x^{2})}{x}}{144}) = 0$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x^{2})}{x^{1}}}{144}) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x^{2})}{x \cdot 1}}{144}) = 0$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{\frac{x (9 x^{2})}{x \cdot 1}}{144}) = 0$

Schritt 2.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{\frac{9 x^{2}}{1}}{144}) = 0$

Schritt 2.4.2.5

Dividiere $9 x^{2}$ durch $1$ .

$\log_{3} (\frac{9 x^{2}}{144}) = 0$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $144$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{9 (x^{2})}{144}) = 0$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $9$ aus $144$ heraus.

$\log_{3} (\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 16}) = 0$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 16}) = 0$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{16}) = 0$

Schritt 3

Setze das Argument in $\log_{3} (\frac{x^{2}}{16})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2}}{16} \leq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $16$ .

$\frac{x^{2}}{16} \cdot 16 \leq 0 \cdot 16$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{16} \cdot 16 \leq 0 \cdot 16$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \leq 0 \cdot 16$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $16$ .

$x^{2} \leq 0$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 0 |$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| x | \leq 0$

Schritt 4.3.3

Schreibe $| x | \leq 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.3.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.3.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 0$

Schritt 4.3.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.3.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 0$

Schritt 4.3.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.3.4

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 0$ und $x \geq 0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3.5

Löse $- x \leq 0$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 4.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.5.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \geq 0$

Schritt 4.3.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $x < 0$ .

Keine Lösung

Schritt 4.3.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x = 0$

Schritt 5