Algebra Beispiele

$\cot (- \frac{7 π}{12})$

Schritt 1

Ersetze $\cot (- \frac{7 π}{12})$ durch einen äquivalenten Ausdruck $\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$ unter Verwendung der fundamentalen Identitätsgleichungen.

$\frac{1}{\tan (- \frac{7 π}{12})}$

Schritt 2

Wende eine Summen- oder Differenzformel auf den Nenner an.

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Schritt 2.1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $- \frac{7 π}{12}$ in $\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6}$ aufgeteilt werden.

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} - \frac{5 π}{6})}$

Schritt 2.2

Wende die Differenzformel für den Tangens an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - \tan (\frac{5 π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{\frac{1 + \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.4.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.4.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{3})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\tan (\frac{5 π}{6})$ mit $1$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{5 π}{6})}}$

Schritt 2.5.3

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6})}}$

Schritt 2.5.4

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Schritt 2.5.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}}$

Schritt 2.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}}$

Schritt 2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}}$

Schritt 2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}})}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}$

Schritt 2.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}$

Schritt 2.9.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}$

Schritt 2.9.3

Vereinfache.

$\frac{1}{(3 + \sqrt{3}) (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Schritt 2.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{6}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Schritt 2.9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.9.5.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Schritt 2.9.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 (\frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}) + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Schritt 2.9.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (\frac{3 + \sqrt{3}}{6})}$

Schritt 2.9.6

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}}$

Schritt 2.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Schritt 2.10.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}}$

Schritt 2.10.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}}$

Schritt 2.10.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}}$

Schritt 2.10.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}}$

Schritt 2.10.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}}$

Schritt 2.10.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 \sqrt{3} + 3$ und $6$ .

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Schritt 2.10.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}}$

Schritt 2.10.5.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}}$

Schritt 2.10.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}}$

Schritt 2.10.5.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.10.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}}$

Schritt 2.10.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.10.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.11.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}}$

Schritt 2.11.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2.11.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2.11.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $2$ .

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Schritt 2.11.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2.11.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}}$

Schritt 2.11.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}}$

Schritt 2.11.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}}$

Schritt 2.11.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}}$

Schritt 2.11.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

Schritt 2.11.4.4.4

Dividiere $2 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Schritt 3.3

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 3.5

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$