Algebra Beispiele

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16}]$

Schritt 1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))}]$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)}]$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{x \cdot 4}]$

Schritt 1.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = {1.25}^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $1.25$ .

${1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) (4 \cdot 1)$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

${1.25}^{4 x} \ln (1.25) \cdot 4$

Schritt 1.3.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ .

$f' (x) = 4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $4 \ln (1.25)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln (1.25)$ nach $x$ gleich $4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$ .

$4 \ln (1.25) \frac{d}{d x} [{1.25}^{4 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = {1.25}^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$4 \ln (1.25) (\frac{d}{d u} [{1.25}^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $1.25$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{u} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$4 \ln (1.25) ({1.25}^{4 x} \ln (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.3

Potenziere $\ln (1.25)$ mit $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.4

Potenziere $\ln (1.25)$ mit $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} (\ln^{1} (1.25) \ln^{1} (1.25)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 ({1.25}^{4 x} {\ln (1.25)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$4 ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25) \cdot 1$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot {1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$ .

$16 \cdot ({1.25}^{4 x} \ln^{2} (1.25))$