Algebra Beispiele

$f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {1.25}^{\frac{x}{4} \cdot 16} d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\int {1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 (4))} d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int {1.25}^{\frac{x}{4} \cdot (4 \cdot 4)} d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int {1.25}^{x \cdot 4} d x$

Schritt 3.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int {1.25}^{4 x} d x$

Schritt 4

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 4.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {1.25}^{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 5

Kombiniere ${1.25}^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{{1.25}^{u}}{4} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int {1.25}^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von ${1.25}^{u}$ nach $u$ ist $\frac{{1.25}^{u}}{\ln (1.25)}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{{1.25}^{u}}{\ln (1.25)} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{{1.25}^{u}}{\ln (1.25)} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (1.25)} \cdot {1.25}^{u} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (1.25)} \cdot {1.25}^{u} + C$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{\ln (1.25)}$ .

$\frac{1}{4 \ln (1.25)} \cdot {1.25}^{u} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4 \ln (1.25)} \cdot {1.25}^{4 x} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {({1.25}^{\frac{x}{4}})}^{16}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4 \ln (1.25)} \cdot {1.25}^{4 x} + C$