Algebra Beispiele

$y = \sqrt[3]{x + 1}$ ; $[- 1, 7]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sqrt[3]{x + 1} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\sqrt[3]{x + 1} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x + 1}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x - \int_{- 1}^{7} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $7$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\sqrt[3]{x + 1}$ .

$\int_{- 1}^{7} \sqrt[3]{x + 1} d x$

Schritt 3.3

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.3.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3.3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{lower} = - 1 + 1$

Schritt 3.3.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{upper} = 7 + 1$

Schritt 3.3.5

Addiere $7$ und $1$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 3.3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Schritt 3.3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Schritt 3.6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Berechne $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ bei $8$ und $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $16$ .

$\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 3.6.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.7.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.8

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$12 - \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.6.2.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 3.6.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}$

Schritt 3.6.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.6.2.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$12 - \frac{3}{4} \cdot 0$

Schritt 3.6.2.12

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$12 + 0 (\frac{3}{4})$

Schritt 3.6.2.13

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{4}$ .

$12 + 0$

Schritt 3.6.2.14

Addiere $12$ und $0$ .

$12$

Schritt 4