Algebra Beispiele

$x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 32 x + 48$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{4} + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{4} + 48$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$- 3 (x^{4}) + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 3$ aus $48$ heraus.

$- 3 (x^{4}) - 3 (- 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{4}) - 3 (- 16)$ heraus.

$- 3 (x^{4} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x^{2}$ und $i = 4$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 2$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 6.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 32 x$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) - 32 x$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $- 32 x$ heraus.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Schritt 7.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (4 x^{2})$ heraus.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Schritt 7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$ heraus.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$

Schritt 8

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} - 32)$

Schritt 9

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (u^{2} + 4 u - 32)$

Schritt 10

Faktorisiere $u^{2} + 4 u - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.1

Betrachte die Form $x^{2} + i x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $i$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $4$ ist.

$- 4, 8$

Schritt 10.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((u - 4) (u + 8))$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 8))$

Schritt 12

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 8))$

Schritt 13

Faktorisiere.

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Schritt 13.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 2$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8))$

Schritt 13.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Schritt 14

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ heraus.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Schritt 14.2

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$

Schritt 14.3

Faktorisiere $(x + 2) (x - 2)$ aus $(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$ heraus.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4) + (x) (x^{2} + 8))$

Schritt 15

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 3 \cdot 4 + (x) (x^{2} + 8))$

Schritt 16

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + (x) (x^{2} + 8))$

Schritt 17

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x \cdot x^{2} + x \cdot 8)$

Schritt 18

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 18.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1} x^{2} + x \cdot 8)$

Schritt 18.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1 + 2} + x \cdot 8)$

Schritt 18.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + x \cdot 8)$

Schritt 19

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + 8 x)$

Schritt 20

Stelle die Terme um.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12)$

Schritt 21

Faktorisiere.

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Schritt 21.1

Faktorisiere $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 21.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 21.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 21.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 21.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Schritt 21.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Schritt 21.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Schritt 21.1.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$8 - 12 + 8 \cdot 2 - 12$

Schritt 21.1.3.5

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$- 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Schritt 21.1.3.6

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Schritt 21.1.3.7

Addiere $- 4$ und $16$ .

$12 - 12$

Schritt 21.1.3.8

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 21.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12}{x - 2}$

Schritt 21.1.5

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ durch $x - 2$ .

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Schritt 21.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$12$

Schritt 21.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$

Schritt 21.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 21.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 21.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 21.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 21.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 21.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 21.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 21.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$

Schritt 21.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 21.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 21.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 21.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 21.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Schritt 21.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - x + 6$

Schritt 21.1.6

Schreibe $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 2) (x^{2} - x + 6))$

Schritt 21.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x - 2) (x^{2} - x + 6)$

Schritt 22

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 22.1

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x^{2} - x + 6)$

Schritt 22.2

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x^{2} - x + 6)$

Schritt 22.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - x + 6)$

Schritt 22.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x^{2} - x + 6)$