Algebra Beispiele

$5 x + 4 y = 8$ , $6 x - 3 y = 33$

Schritt 1

Ermittle $A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Schritt 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

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Schritt 2.1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 2.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 3 - 6 \cdot 4$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$- 15 - 6 \cdot 4$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$- 15 - 24$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $- 15$ .

$- 39$

Schritt 2.3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 2.4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{- 39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.6

Multipliziere $- \frac{1}{39}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{39}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.1.2

Faktorisiere $3$ aus $39$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{13} \cdot - 1 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{- 1}{13}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.4

Multipliziere $- \frac{1}{39} \cdot - 4$ .

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Schritt 2.7.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & 4 (\frac{1}{39}) \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{39}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.5.2

Faktorisiere $3$ aus $39$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.5.3

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.5.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{13} \cdot - 2 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.6

Kombiniere $\frac{- 1}{13}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- - 2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

Schritt 2.7.8

Multipliziere $- \frac{1}{39} \cdot 5$ .

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Schritt 2.7.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - 5 (\frac{1}{39}) \end{array}]$

Schritt 2.7.8.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{39}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & \frac{- 5}{39} \end{array}]$

Schritt 2.7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}]$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Matrizengleichung von links mit der inversen Matrix.

$([\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Schritt 4

Jede Matrix multipliziert mit ihrer Inversen ist immer gleich $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$ .

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Schritt 5.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix $2 \times 2$ und die zweite Matrix ist $2 \times 1$ .

Schritt 5.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} \cdot 8 + \frac{4}{39} \cdot 33 \\ \frac{2}{13} \cdot 8 - \frac{5}{39} \cdot 33 \end{array}]$

Schritt 5.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache die linke und rechte Seite.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

Schritt 7

Ermittle die Lösung.

$x = 4$

$y = - 3$