Algebra Beispiele

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{5 π}{12}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})))}^{4}$

Schritt 1.2.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Schritt 1.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Schritt 1.2.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

Schritt 1.2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

Schritt 1.2.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

Schritt 1.2.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

Schritt 1.2.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})))}^{4}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}))}^{4}$

Schritt 1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}))}^{4}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(\sqrt{3} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{4}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4}$ .

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4})}^{4}$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4}$ an.

$\frac{{(\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}))}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})$ an.

$\frac{{\sqrt{3}}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{4}$ als $3^{2}$ um.

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Schritt 4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{3^{\frac{4}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{\frac{2}{1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{3^{2} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

Schritt 5

Potenziere $4$ mit $4$ .

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{256}$