Algebra Beispiele

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{2}{5}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{2}{5}$

Schritt 2

Dies ist die Form einer geometrischen Folge.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Schritt 3

Setze die Werte von $a_{1} = 2$ und $r = \frac{2}{5}$ ein.

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Schritt 5

Multipliziere $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

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Schritt 5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Schritt 5.2

Multipliziere $2$ mit $2^{n - 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{n - 1}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

Schritt 5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + n - 1$ .

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $n$ und $0$ .

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

Schritt 6

Dies ist die Formel zur Berechnung der Summe der ersten $n$ Terme der geometrischen Folge. Ermittle die Werte von $r$ und $a_{1}$ , um sie auszuwerten.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Schritt 7

Ersetze die Variablen durch die bekannten Werte, um $S_{4}$ zu ermitteln.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.3

Potenziere $5$ mit $4$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{625}{625}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $625$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.7.2

Subtrahiere $625$ von $16$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

Schritt 9.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

Schritt 10

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

Schritt 11

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $3$ aus $609$ heraus.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 13.1

Faktorisiere $5$ aus $625$ heraus.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

Schritt 14

Multipliziere $2 (\frac{203}{125})$ .

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Schritt 14.1

Kombiniere $2$ und $\frac{203}{125}$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $2$ mit $203$ .

$S_{4} = \frac{406}{125}$