Algebra Beispiele

$\tan (- 75)$

Schritt 1

Teile den Winkel zunächst in zwei Winkel auf, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind. In diesem Fall kann $- 75$ in $60 - 135$ aufgeteilt werden.

$\tan (60 - 135)$

Schritt 2

Wende die Differenzformel für den Tangens an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (60) - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

$\frac{\tan (60) - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\tan (60)$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Schritt 4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{3} - - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - (- 1 \cdot 1)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - - 1}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\tan (60)$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (135)}$

Schritt 5.2

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- \tan (45))}$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\tan (45)$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot - 1}$

Schritt 5.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ mit $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Schritt 7.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8.2

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 8.3

Potenziere $1 + \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Schritt 9

Schreibe ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ um.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 10

Multipliziere $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Schritt 11.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Schritt 11.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 11.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 2 \sqrt{3}$ und $- 2$ .

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 12.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Schritt 12.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Schritt 13

Schreibe $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ als $- (2 + \sqrt{3})$ um.

$- (2 + \sqrt{3})$

Schritt 14

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Schritt 15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$- 3.73205080 \dots$