Algebra Beispiele

$(8, 9)$ , $(16, y)$

Schritt 1

Ermittle die Steigung der Geraden zwischen $(8, 9)$ und $(16, y)$ unter Anwendung von $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , was die Änderung von $y$ über der Änderung von $x$ darstellt.

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Schritt 1.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 1.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 1.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{y - (9)}{16 - (8)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$m = \frac{y - 9}{16 - (8)}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$m = \frac{y - 9}{16 - 8}$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$m = \frac{y - 9}{8}$

Schritt 2

Benutze die Steigung $\frac{y - 9}{8}$ und einen gegebenen Punkt $(8, 9)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (9) = \frac{y - 9}{8} \cdot (x - (8))$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 9 = \frac{y - 9}{8} \cdot (x - 8)$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Vereinfache $\frac{y - 9}{8} \cdot (x - 8)$ .

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Schritt 4.1.1

Forme um.

$y - 9 = 0 + 0 + \frac{y - 9}{8} \cdot (x - 8)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = \frac{y - 9}{8} x + \frac{y - 9}{8} \cdot - 8$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $\frac{y - 9}{8}$ und $x$ .

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} + \frac{y - 9}{8} \cdot - 8$

Schritt 4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} + \frac{y - 9}{8} \cdot (8 (- 1))$

Schritt 4.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} + \frac{y - 9}{8} \cdot (8 \cdot - 1)$

Schritt 4.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} + (y - 9) \cdot - 1$

Schritt 4.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} + y \cdot - 1 - 9 \cdot - 1$

Schritt 4.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} - 1 \cdot y - 9 \cdot - 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} - 1 \cdot y + 9$

Schritt 4.1.3.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} - y + 9$

Schritt 4.1.4

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} - y \cdot \frac{8}{8} + 9$

Schritt 4.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.5.1

Kombiniere $- y$ und $\frac{8}{8}$ .

$y - 9 = \frac{(y - 9) x}{8} + \frac{- y \cdot 8}{8} + 9$

Schritt 4.1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y - 9 = \frac{(y - 9) x - y \cdot 8}{8} + 9$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 9 = \frac{y x - 9 x - y \cdot 8}{8} + 9$

Schritt 4.1.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$y - 9 = \frac{y x - 9 x - 8 y}{8} + 9$

Schritt 4.1.7

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y - 9 = \frac{y x - 9 x - 8 y}{8} + 9 \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.8.1

Kombiniere $9$ und $\frac{8}{8}$ .

$y - 9 = \frac{y x - 9 x - 8 y}{8} + \frac{9 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y - 9 = \frac{y x - 9 x - 8 y + 9 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.1.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.9.1

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$y - 9 = \frac{y x - 9 x - 8 y + 72}{8}$

Schritt 4.1.9.2

Schreibe $y x - 9 x - 8 y + 72$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.9.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.9.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y - 9 = \frac{(y x - 9 x) - 8 y + 72}{8}$

Schritt 4.1.9.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y - 9 = \frac{x (y - 9) - 8 (y - 9)}{8}$

Schritt 4.1.9.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 9$ .

$y - 9 = \frac{(y - 9) (x - 8)}{8}$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $\frac{(y - 9) (x - 8)}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 9 - \frac{(y - 9) (x - 8)}{8} = 0$

Schritt 4.2.2

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y \cdot \frac{8}{8} - \frac{(y - 9) (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{8}{8}$ .

$\frac{y \cdot 8}{8} - \frac{(y - 9) (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y \cdot 8 - (y - 9) (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.5.1.1

Bringe $8$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{8 \cdot y - (y - 9) (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 y + (- y - - 9) (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{8 y + (- y + 9) (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.4

Multipliziere $(- y + 9) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 y - y (x - 8) + 9 (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 y - y x - y \cdot - 8 + 9 (x - 8)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 y - y x - y \cdot - 8 + 9 x + 9 \cdot - 8}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.5.1.5.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{8 y - y x + 8 y + 9 x + 9 \cdot - 8}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 8$ .

$\frac{8 y - y x + 8 y + 9 x - 72}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.6

Addiere $8 y$ und $8 y$ .

$\frac{- y x + 16 y + 9 x - 72}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7

Schreibe $- y x + 16 y + 9 x - 72$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.5.1.7.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{- 72 - y x + 16 y + 9 x}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y x + 16 y + 9 x$ heraus.

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Schritt 4.2.5.1.7.2.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.5.1.7.2.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{- 72 - 1 x y + 16 y + 9 x}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.2.1.2

Bewege $16 y$ .

$\frac{- 72 - 1 x y + 9 x + 16 y}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 x y$ heraus.

$\frac{- 72 - (x y) + 9 x + 16 y}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{- 72 - (x y) - (- 9 x) + 16 y}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $16 y$ heraus.

$\frac{- 72 - (x y) - (- 9 x) - (- 16 y)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y) - (- 9 x)$ heraus.

$\frac{- 72 - (x y - 9 x) - (- 16 y)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y - 9 x) - (- 16 y)$ heraus.

$\frac{- 72 - (x y - 9 x - 16 y)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 72 - (x y - 9 x - 16 y)$ heraus.

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Schritt 4.2.5.1.7.3.1

Stelle $- 72$ und $- (x y - 9 x - 16 y)$ um.

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y) - 72}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.3.2

Schreibe $- 72$ als $- 1 (72)$ um.

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y) - 1 (72)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.1.7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y - 9 x - 16 y) - 1 (72)$ heraus.

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y + 72)}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x y - 9 x - 16 y + 72}{8} - 9 = 0$

Schritt 4.2.6

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{x y - 9 x - 16 y + 72}{8} - 9 \cdot \frac{8}{8} = 0$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 9$ und $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{x y - 9 x - 16 y + 72}{8} + \frac{- 9 \cdot 8}{8} = 0$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y + 72) - 9 \cdot 8}{8} = 0$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y - 9 x - 16 y + 72) - 9 \cdot 8$ heraus.

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Schritt 4.2.9.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 \cdot 8$ heraus.

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y + 72) - (9 \cdot 8)}{8} = 0$

Schritt 4.2.9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x y - 9 x - 16 y + 72) - (9 \cdot 8)$ heraus.

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y + 72 + 9 \cdot 8)}{8} = 0$

Schritt 4.2.9.2

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y + 72 + 72)}{8} = 0$

Schritt 4.2.9.3

Addiere $72$ und $72$ .

$\frac{- (x y - 9 x - 16 y + 144)}{8} = 0$

Schritt 4.2.9.4

Schreibe $x y - 9 x - 16 y + 144$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.9.4.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.9.4.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{- ((x y - 9 x) - 16 y + 144)}{8} = 0$

Schritt 4.2.9.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{- (x (y - 9) - 16 (y - 9))}{8} = 0$

Schritt 4.2.9.4.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y - 9$ .

$\frac{- ((y - 9) (x - 16))}{8} = 0$

$\frac{- (y - 9) (x - 16)}{8} = 0$

Schritt 4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(y - 9) (x - 16)}{8} = 0$

Schritt 4.3

Setze den Zähler gleich Null.

$(y - 9) (x - 16) = 0$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $(y - 9) (x - 16) = 0$ durch $x - 16$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(y - 9) (x - 16) = 0$ durch $x - 16$ .

$\frac{(y - 9) (x - 16)}{x - 16} = \frac{0}{x - 16}$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 16$ .

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Schritt 4.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(y - 9) (x - 16)}{x - 16} = \frac{0}{x - 16}$

Schritt 4.4.1.2.1.2

Dividiere $y - 9$ durch $1$ .

$y - 9 = \frac{0}{x - 16}$

Schritt 4.4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $x - 16$ .

$y - 9 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 9$

Schritt 5

Notiere die Gleichung in verschiedenen Formen.

Normalform:

$y = 9$

Punkt-Steigungs-Form:

$y - 9 = \frac{y - 9}{8} \cdot (x - 8)$

Schritt 6