Algebra Beispiele

$\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $\frac{5 x - 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{5 x - 2}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 2}{2} - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 - \frac{19 x + 6}{2 x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.3

Zerlege den Bruch $\frac{19 x + 6}{2 x}$ in zwei Brüche.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19 x}{2 x} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.1.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19 x}{2 x} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{6}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.1.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 (x)}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x}{2} - 1 - (\frac{19}{2} + \frac{3}{x}) = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x}{2} - 1 - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2 - 19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 2 - 19}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.5.2

Subtrahiere $19$ von $- 2$ .

$\frac{5 x}{2} + \frac{- 21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x - 2}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $\frac{3 x - 2}{4}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{3 x - 2}{4}$ in zwei Brüche.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 1.2.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} + \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $\frac{3 x}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 1.4

Vereinfache $\frac{5 x}{2} - \frac{21}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x - 21 + 1}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $- 21$ und $1$ .

$\frac{5 x - 20}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Schritt 1.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x - 20$ heraus.

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Schritt 1.4.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{5 (x) - 20}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Schritt 1.4.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{5 x + 5 \cdot - 4}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Schritt 1.4.3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{5 (x - 4)}{2} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Schritt 1.4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} + \frac{- 3 x}{4} = 0$

Schritt 1.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2, x, 4, 1$

Schritt 2.2

Da $2, x, 4, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 1, 4, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.6

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.7

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.8

Das kgV von $2, 1, 4, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 2.10

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.11

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 2.12

Das kgV von $2, x, 4, 1$ ist der numerische Teil $4$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$4 x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$ mit $4 x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 (x - 4)}{2} - \frac{3}{x} - \frac{3 x}{4} = 0$ mit $4 x$ .

$\frac{5 (x - 4)}{2} (4 x) - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{5 (x - 4)}{2} x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (5 (x - 4)) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10 (x - 4) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(10 x + 10 \cdot - 4) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$(10 x - 40) x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$10 x \cdot x - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.7.1

Bewege $x$ .

$10 (x \cdot x) - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$10 x^{2} - 40 x - \frac{3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{x}$ in den Zähler.

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (4 x) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.8.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (x \cdot 4) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 x^{2} - 40 x + \frac{- 3}{x} (x \cdot 4) - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$10 x^{2} - 40 x - 3 \cdot 4 - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - \frac{3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{4}$ in den Zähler.

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.10.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 (x)) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 x^{2} - 40 x - 12 + \frac{- 3 x}{4} (4 x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x \cdot x = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 (x^{1} x) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 (x^{1} x^{1}) = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x^{1 + 1} = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.1.14

Addiere $1$ und $1$ .

$10 x^{2} - 40 x - 12 - 3 x^{2} = 0 (4 x)$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0 (4 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $0 (4 x)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0 x$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot - 12 = - 84$ und deren Summe gleich $b = - 40$ ist.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $- 40$ aus $- 40 x$ heraus.

$7 x^{2} - 40 x - 12 = 0$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe $- 40$ um als $2$ plus $- 42$

$7 x^{2} + (2 - 42) x - 12 = 0$

Schritt 4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} + 2 x - 42 x - 12 = 0$

Schritt 4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(7 x^{2} + 2 x) - 42 x - 12 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (7 x + 2) - 6 (7 x + 2) = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x + 2$ .

$(7 x + 2) (x - 6) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3

Setze $7 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $7 x + 2$ gleich $0$ .

$7 x + 2 = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $7 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 2$

Schritt 4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Schritt 4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{7}$

Schritt 4.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x + 2) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{7}, 6$