Algebra Beispiele

${(3 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{2}$

Schritt 1.1.2

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{2}$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{2}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{2}$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{2}$

Schritt 1.2.4

Schreibe ${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{2}$ als $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$ um.

$(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2}) + \frac{3 i}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 \sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.1.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \cdot 3^{1}}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 \cdot 3}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{3 \sqrt{3} (3 i)}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $\frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 i}{2}$ mit $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 i (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $\frac{3 i}{2} \cdot \frac{3 i}{2}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 i}{2}$ mit $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{3 i (3 i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i i}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.6.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i^{2}}{4}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 \cdot - 1}{4}$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 9}{4}$

Schritt 3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{27}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27 - 9}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $9$ von $27$ .

$\frac{18}{4} + \frac{9 \sqrt{3} i}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{18}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4} + \frac{9 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18}{4} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (9)}{4} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} + \frac{18 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18 i \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{2 (2)}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{2} + \frac{2 (9 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{2} + \frac{9 i \sqrt{3}}{2}$