Algebra Beispiele

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 9 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 4 x - 9 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 x^{2} + 4 x - 9$ und $0$ .

$3 x^{2} + 4 x - 9$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 4 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6 x + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} (- 9 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 + \frac{d}{d x} (- 18)$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $3 x^{2} + 4 x - 9$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 9$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 4 x - 9$ .

$3 x^{2} + 4 x - 9$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$

Schritt 6.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 4$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 9)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Schritt 6.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 108}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.1.3

Addiere $16$ und $108$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 6.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 108}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.5.1.3

Addiere $16$ und $108$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.5.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 6.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.5.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{31}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{31})}{3}$

Schritt 6.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{31})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{31})}{3}$

Schritt 6.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 108}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.1.3

Addiere $16$ und $108$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{124}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe $124$ als $2^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 6.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $124$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.6.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{31}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{31})}{3}$

Schritt 6.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{31})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{31})}{3}$

Schritt 6.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) + 4$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ in den Zähler.

$6 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} + 4$

Schritt 10.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} + 4$

Schritt 10.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} + 4$

Schritt 10.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (- (2 - \sqrt{31})) + 4$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (2 - \sqrt{31}) + 4$

Schritt 10.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 2 - 2 (- \sqrt{31}) + 4$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 - 2 (- \sqrt{31}) + 4$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 4 + 2 \sqrt{31} + 4$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0 + 2 \sqrt{31}$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $2 \sqrt{31}$ .

$2 \sqrt{31}$

Schritt 11

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 - \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{31})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 (- \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{31})}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 {(- \sqrt{31})}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{31}$ an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 (1 {\sqrt{31}}^{2}) + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.8

Mutltipliziere ${\sqrt{31}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 {\sqrt{31}}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.9

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.5.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.5.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.9.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.10

Mutltipliziere $6$ mit $31$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 + {(- \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{31}$ an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.13

Schreibe ${\sqrt{31}}^{3}$ als $\sqrt{31^{3}}$ um.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{31^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.14

Potenziere $31$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{29791}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.15

Schreibe $29791$ als $31^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 12.2.1.5.15.1

Faktorisiere $961$ aus $29791$ heraus.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{961 (31)}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.15.2

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - (31 \sqrt{31})}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.5.17

Mutltipliziere $31$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 - 12 \sqrt{31} + 186 - 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.6

Addiere $8$ und $186$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 12 \sqrt{31} - 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.7

Subtrahiere $31 \sqrt{31}$ von $- 12 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 - \sqrt{31}}{3})}^{2}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 - \sqrt{31})}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.12

Schreibe ${(2 - \sqrt{31})}^{2}$ als $(2 - \sqrt{31}) (2 - \sqrt{31})$ um.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{(2 - \sqrt{31}) (2 - \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.13

Multipliziere $(2 - \sqrt{31}) (2 - \sqrt{31})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.2.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 (2 - \sqrt{31}) - \sqrt{31} (2 - \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} (2 - \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} \cdot 2 - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.2.1.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.14.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 (- \sqrt{31}) - \sqrt{31} \cdot 2 - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - \sqrt{31} \cdot 2 - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} - \sqrt{31} (- \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.4

Multipliziere $- \sqrt{31} (- \sqrt{31})$ .

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Schritt 12.2.1.14.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 1 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{31}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.4.3

Potenziere $\sqrt{31}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.4.4

Potenziere $\sqrt{31}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + {\sqrt{31}}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.5

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 12.2.1.14.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31^{\frac{2}{2}}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.14.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31^{\frac{2}{2}}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} + 31}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.2

Addiere $4$ und $31$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 - 2 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.14.3

Subtrahiere $2 \sqrt{31}$ von $- 2 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 - 4 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.15

Kombiniere $2$ und $\frac{35 - 4 \sqrt{31}}{9}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} - 9 (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.1.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} - 9 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3} - 18$

Schritt 12.2.1.16.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (- 3) (\frac{- (2 - \sqrt{31})}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 3 \frac{- (2 - \sqrt{31})}{3}) - 18$

Schritt 12.2.1.16.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} - 3 (- (2 - \sqrt{31})) - 18$

Schritt 12.2.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (2 - \sqrt{31}) - 18$

Schritt 12.2.1.18

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot 2 + 3 (- \sqrt{31}) - 18$

Schritt 12.2.1.19

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 6 + 3 (- \sqrt{31}) - 18$

Schritt 12.2.1.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.2

Um $\frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (35 - 4 \sqrt{31})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 - 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- (194 - 43 \sqrt{31}) + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 194 - (- 43 \sqrt{31}) + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $194$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - (- 43 \sqrt{31}) + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.3

Mutltipliziere $- 43$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 2 (35 - 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + (2 \cdot 35 + 2 (- 4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $35$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + (70 + 2 (- 4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + (70 - 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 70 \cdot 3 - 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.8

Mutltipliziere $70$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 210 - 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 + 43 \sqrt{31} + 210 - 24 \sqrt{31}}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.10

Addiere $- 194$ und $210$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 43 \sqrt{31} - 24 \sqrt{31}}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.5.11

Subtrahiere $24 \sqrt{31}$ von $43 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31}}{27} + 6 - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.6

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31}}{27} + 6 \cdot \frac{27}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.7

Kombiniere $6$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{6 \cdot 27}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31} + 6 \cdot 27}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $27$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 + 19 \sqrt{31} + 162}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.8.3

Addiere $16$ und $162$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31}}{27} - 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 12.2.9

Um $- 3 \sqrt{31}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31}}{27} - 3 \sqrt{31} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Schritt 12.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.2.10.1

Kombiniere $- 3 \sqrt{31}$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 12.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31} - 3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 12.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 19 \sqrt{31} - 81 \sqrt{31}}{27} - 18$

Schritt 12.2.11.2

Subtrahiere $81 \sqrt{31}$ von $19 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31}}{27} - 18$

Schritt 12.2.12

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 12.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.2.13.1

Kombiniere $- 18$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31} - 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 12.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.14.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $27$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 62 \sqrt{31} - 486}{27}$

Schritt 12.2.14.2

Subtrahiere $486$ von $178$ .

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 12.2.15

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 12.2.15.1

Schreibe $- 308$ als $- 1 (308)$ um.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 12.2.15.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 62 \sqrt{31}$ heraus.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 - (62 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 12.2.15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (308) - (62 \sqrt{31})$ heraus.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 (308 + 62 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 12.2.15.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}) = - \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 12.2.16

Die endgültige Lösung ist $- \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27}$ .

$y = - \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) + 4$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ in den Zähler.

$6 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} + 4$

Schritt 14.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} + 4$

Schritt 14.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} + 4$

Schritt 14.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (- (2 + \sqrt{31})) + 4$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (2 + \sqrt{31}) + 4$

Schritt 14.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{31} + 4$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 - 2 \sqrt{31} + 4$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 14.2.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0 - 2 \sqrt{31}$

Schritt 14.2.2

Subtrahiere $2 \sqrt{31}$ von $0$ .

$- 2 \sqrt{31}$

Schritt 15

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 16.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{3} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}}) + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{{(2 + \sqrt{31})}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{2^{3} + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.5.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 3 \cdot (4 \sqrt{31}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 3 \cdot (2 {\sqrt{31}}^{2}) + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 {\sqrt{31}}^{2} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.5

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 16.2.1.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 6 \cdot 31 + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.6

Mutltipliziere $6$ mit $31$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + {\sqrt{31}}^{3}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.7

Schreibe ${\sqrt{31}}^{3}$ als $\sqrt{31^{3}}$ um.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{31^{3}}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.8

Potenziere $31$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{29791}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.9

Schreibe $29791$ als $31^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 16.2.1.5.9.1

Faktorisiere $961$ aus $29791$ heraus.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{961 (31)}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.9.2

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.5.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{8 + 12 \sqrt{31} + 186 + 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.6

Addiere $8$ und $186$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 12 \sqrt{31} + 31 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.7

Addiere $12 \sqrt{31}$ und $31 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 {(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 16.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 + \sqrt{31}}{3})}^{2}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (1 (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}})) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{{(2 + \sqrt{31})}^{2}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.12

Schreibe ${(2 + \sqrt{31})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{31}) (2 + \sqrt{31})$ um.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{(2 + \sqrt{31}) (2 + \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.13

Multipliziere $(2 + \sqrt{31}) (2 + \sqrt{31})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 16.2.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 (2 + \sqrt{31}) + \sqrt{31} (2 + \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} (2 + \sqrt{31})}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \cdot 2 + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 16.2.1.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.14.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31} \cdot 2 + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \cdot \sqrt{31} + \sqrt{31} \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31 \cdot 31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14.1.4

Mutltipliziere $31$ mit $31$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + \sqrt{961}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14.1.5

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + \sqrt{31^{2}}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{4 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} + 31}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14.2

Addiere $4$ und $31$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 + 2 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.14.3

Addiere $2 \sqrt{31}$ und $2 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + 2 (\frac{35 + 4 \sqrt{31}}{9}) - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.15

Kombiniere $2$ und $\frac{35 + 4 \sqrt{31}}{9}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} - 9 (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 16.2.1.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} - 9 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3} - 18$

Schritt 16.2.1.16.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (- 3) (\frac{- (2 + \sqrt{31})}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot (- 3 \frac{- (2 + \sqrt{31})}{3}) - 18$

Schritt 16.2.1.16.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} - 3 (- (2 + \sqrt{31})) - 18$

Schritt 16.2.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 (2 + \sqrt{31}) - 18$

Schritt 16.2.1.18

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 3 \cdot 2 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.1.19

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.2

Um $\frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (35 + 4 \sqrt{31})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{194 + 43 \sqrt{31}}{27} + \frac{2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- (194 + 43 \sqrt{31}) + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 194 - (43 \sqrt{31}) + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $194$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - (43 \sqrt{31}) + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.3

Mutltipliziere $43$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 2 (35 + 4 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + (2 \cdot 35 + 2 (4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $35$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + (70 + 2 (4 \sqrt{31})) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + (70 + 8 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 70 \cdot 3 + 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.8

Mutltipliziere $70$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 210 + 8 \sqrt{31} \cdot 3}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.9

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 194 - 43 \sqrt{31} + 210 + 24 \sqrt{31}}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.10

Addiere $- 194$ und $210$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 43 \sqrt{31} + 24 \sqrt{31}}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.5.11

Addiere $- 43 \sqrt{31}$ und $24 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31}}{27} + 6 + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.6

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31}}{27} + 6 \cdot \frac{27}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.7

Kombiniere $6$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{6 \cdot 27}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31} + 6 \cdot 27}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $27$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{16 - 19 \sqrt{31} + 162}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.8.3

Addiere $16$ und $162$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31}}{27} + 3 \sqrt{31} - 18$

Schritt 16.2.9

Um $3 \sqrt{31}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31}}{27} + 3 \sqrt{31} \cdot \frac{27}{27} - 18$

Schritt 16.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.2.10.1

Kombiniere $3 \sqrt{31}$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31}}{27} + \frac{3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 16.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31} + 3 \sqrt{31} \cdot 27}{27} - 18$

Schritt 16.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 - 19 \sqrt{31} + 81 \sqrt{31}}{27} - 18$

Schritt 16.2.11.2

Addiere $- 19 \sqrt{31}$ und $81 \sqrt{31}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31}}{27} - 18$

Schritt 16.2.12

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 16.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 16.2.13.1

Kombiniere $- 18$ und $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 16.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31} - 18 \cdot 27}{27}$

Schritt 16.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.14.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $27$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{178 + 62 \sqrt{31} - 486}{27}$

Schritt 16.2.14.2

Subtrahiere $486$ von $178$ .

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 16.2.15

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 16.2.15.1

Schreibe $- 308$ als $- 1 (308)$ um.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 + 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 16.2.15.2

Faktorisiere $- 1$ aus $62 \sqrt{31}$ heraus.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 308 - (- 62 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 16.2.15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (308) - (- 62 \sqrt{31})$ heraus.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = \frac{- 1 (308 - 62 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 16.2.15.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}) = - \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 16.2.16

Die endgültige Lösung ist $- \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27}$ .

$y = - \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$ .

$(- \frac{2 - \sqrt{31}}{3}, - \frac{308 + 62 \sqrt{31}}{27})$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{2 + \sqrt{31}}{3}, - \frac{308 - 62 \sqrt{31}}{27})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18