Algebra Beispiele

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 214 x^{2} - 840 x + 1225$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{4} - 24 x^{3} + 214 x^{2} - 840 x + 1225$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 214 x^{2} - 840 x + 1225$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 24 x^{3} + 214 x^{2} - 840 x + 1225$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 24$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + \frac{d}{d x} [214 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [214 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $214$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $214 x^{2}$ nach $x$ gleich $214 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 214 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 214 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $214$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x + \frac{d}{d x} [- 840 x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 840 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 840$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 840 x$ nach $x$ gleich $- 840 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 840$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 + \frac{d}{d x} [1225]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $1225$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1225$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$ und $0$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [428 x] + \frac{d}{d x} [- 840]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (428 x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (428 x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (428 x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (428 x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 72 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (428 x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (428 x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 72$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (428 x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [428 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $428$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $428 x$ nach $x$ gleich $428 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 144 x + 428 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 144 x + 428 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $428$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 144 x + 428 + \frac{d}{d x} (- 840)$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $- 840$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 840$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 144 x + 428 + 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $12 x^{2} - 144 x + 428$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 144 x + 428$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (214 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [214 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $214$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $214 x^{2}$ nach $x$ gleich $214 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 214 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 214 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $214$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x + \frac{d}{d x} (- 840 x) + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 840 x]$ .

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 840$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 840 x$ nach $x$ gleich $- 840 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 840$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 + \frac{d}{d x} (1225)$

Schritt 5.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.5.1

Da $1225$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1225$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 + 0$

Schritt 5.1.5.2

Addiere $4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 72 x^{2} + 428 x - 840$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 72 x^{2} + 428 x - 840 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 72 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 18 x^{2}) + 428 x - 840 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $428 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 18 x^{2}) + 4 (107 x) - 840 = 0$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 840$ heraus.

$4 x^{3} + 4 (- 18 x^{2}) + 4 (107 x) + 4 \cdot - 210 = 0$

Schritt 6.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 (- 18 x^{2})$ heraus.

$4 (x^{3} - 18 x^{2}) + 4 (107 x) + 4 \cdot - 210 = 0$

Schritt 6.2.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 18 x^{2}) + 4 (107 x)$ heraus.

$4 (x^{3} - 18 x^{2} + 107 x) + 4 \cdot - 210 = 0$

Schritt 6.2.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 18 x^{2} + 107 x) + 4 \cdot - 210$ heraus.

$4 (x^{3} - 18 x^{2} + 107 x - 210) = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{3} - 18 x^{2} + 107 x - 210$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 210, \pm 2, \pm 105, \pm 3, \pm 70, \pm 5, \pm 42, \pm 6, \pm 35, \pm 7, \pm 30, \pm 10, \pm 21, \pm 14, \pm 15$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 210, \pm 2, \pm 105, \pm 3, \pm 70, \pm 5, \pm 42, \pm 6, \pm 35, \pm 7, \pm 30, \pm 10, \pm 21, \pm 14, \pm 15$

Schritt 6.2.2.3

Setze $5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.2.2.3.1

Setze $5$ in das Polynom ein.

$5^{3} - 18 \cdot 5^{2} + 107 \cdot 5 - 210$

Schritt 6.2.2.3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 - 18 \cdot 5^{2} + 107 \cdot 5 - 210$

Schritt 6.2.2.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$125 - 18 \cdot 25 + 107 \cdot 5 - 210$

Schritt 6.2.2.3.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $25$ .

$125 - 450 + 107 \cdot 5 - 210$

Schritt 6.2.2.3.5

Subtrahiere $450$ von $125$ .

$- 325 + 107 \cdot 5 - 210$

Schritt 6.2.2.3.6

Mutltipliziere $107$ mit $5$ .

$- 325 + 535 - 210$

Schritt 6.2.2.3.7

Addiere $- 325$ und $535$ .

$210 - 210$

Schritt 6.2.2.3.8

Subtrahiere $210$ von $210$ .

$0$

Schritt 6.2.2.4

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 18 x^{2} + 107 x - 210}{x - 5}$

Schritt 6.2.2.5

Dividiere $x^{3} - 18 x^{2} + 107 x - 210$ durch $x - 5$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$18 x^{2}$

$107 x$

$210$

Schritt 6.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$

Schritt 6.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 5 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$

Schritt 6.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 13 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$

Schritt 6.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					-	$13 x^{2}$	+	$65 x$

Schritt 6.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 13 x^{2} + 65 x$

				$x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$

Schritt 6.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$
							+	$42 x$

Schritt 6.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$13 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$
							+	$42 x$	-	$210$

Schritt 6.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $42 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$13 x$	+	$42$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$
							+	$42 x$	-	$210$

Schritt 6.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$13 x$	+	$42$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$
							+	$42 x$	-	$210$
							+	$42 x$	-	$210$

Schritt 6.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $42 x - 210$

				$x^{2}$	-	$13 x$	+	$42$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$
							+	$42 x$	-	$210$
							-	$42 x$	+	$210$

Schritt 6.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$13 x$	+	$42$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$107 x$	-	$210$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	+	$107 x$
					+	$13 x^{2}$	-	$65 x$
							+	$42 x$	-	$210$
							-	$42 x$	+	$210$
										$0$

Schritt 6.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 13 x + 42$

Schritt 6.2.2.6

Schreibe $x^{3} - 18 x^{2} + 107 x - 210$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 5) (x^{2} - 13 x + 42)) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $x^{2} - 13 x + 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 13 x + 42$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $42$ und deren Summe $- 13$ ist.

$- 7, - 6$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 5) ((x - 7) (x - 6))) = 0$

Schritt 6.2.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 ((x - 5) (x - 7) (x - 6)) = 0$

Schritt 6.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 5) (x - 7) (x - 6) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.5

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 6.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 6.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 5) (x - 7) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 7, 6$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 5, 7, 6$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(5)}^{2} - 144 \cdot 5 + 428$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$12 \cdot 25 - 144 \cdot 5 + 428$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $25$ .

$300 - 144 \cdot 5 + 428$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 144$ mit $5$ .

$300 - 720 + 428$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $720$ von $300$ .

$- 420 + 428$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 420$ und $428$ .

$8$

Schritt 11

$x = 5$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 5$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 5$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = {(5)}^{4} - 24 {(5)}^{3} + 214 {(5)}^{2} - 840 \cdot 5 + 1225$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $5$ mit $4$ .

$f (5) = 625 - 24 {(5)}^{3} + 214 {(5)}^{2} - 840 \cdot 5 + 1225$

Schritt 12.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f (5) = 625 - 24 \cdot 125 + 214 {(5)}^{2} - 840 \cdot 5 + 1225$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $125$ .

$f (5) = 625 - 3000 + 214 {(5)}^{2} - 840 \cdot 5 + 1225$

Schritt 12.2.1.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = 625 - 3000 + 214 \cdot 25 - 840 \cdot 5 + 1225$

Schritt 12.2.1.5

Mutltipliziere $214$ mit $25$ .

$f (5) = 625 - 3000 + 5350 - 840 \cdot 5 + 1225$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $- 840$ mit $5$ .

$f (5) = 625 - 3000 + 5350 - 4200 + 1225$

Schritt 12.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $3000$ von $625$ .

$f (5) = - 2375 + 5350 - 4200 + 1225$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $- 2375$ und $5350$ .

$f (5) = 2975 - 4200 + 1225$

Schritt 12.2.2.3

Subtrahiere $4200$ von $2975$ .

$f (5) = - 1225 + 1225$

Schritt 12.2.2.4

Addiere $- 1225$ und $1225$ .

$f (5) = 0$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 7$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(7)}^{2} - 144 \cdot 7 + 428$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$12 \cdot 49 - 144 \cdot 7 + 428$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $49$ .

$588 - 144 \cdot 7 + 428$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 144$ mit $7$ .

$588 - 1008 + 428$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Subtrahiere $1008$ von $588$ .

$- 420 + 428$

Schritt 14.2.2

Addiere $- 420$ und $428$ .

$8$

Schritt 15

$x = 7$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 7$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 7$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = {(7)}^{4} - 24 {(7)}^{3} + 214 {(7)}^{2} - 840 \cdot 7 + 1225$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Potenziere $7$ mit $4$ .

$f (7) = 2401 - 24 {(7)}^{3} + 214 {(7)}^{2} - 840 \cdot 7 + 1225$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f (7) = 2401 - 24 \cdot 343 + 214 {(7)}^{2} - 840 \cdot 7 + 1225$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $343$ .

$f (7) = 2401 - 8232 + 214 {(7)}^{2} - 840 \cdot 7 + 1225$

Schritt 16.2.1.4

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (7) = 2401 - 8232 + 214 \cdot 49 - 840 \cdot 7 + 1225$

Schritt 16.2.1.5

Mutltipliziere $214$ mit $49$ .

$f (7) = 2401 - 8232 + 10486 - 840 \cdot 7 + 1225$

Schritt 16.2.1.6

Mutltipliziere $- 840$ mit $7$ .

$f (7) = 2401 - 8232 + 10486 - 5880 + 1225$

Schritt 16.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 16.2.2.1

Subtrahiere $8232$ von $2401$ .

$f (7) = - 5831 + 10486 - 5880 + 1225$

Schritt 16.2.2.2

Addiere $- 5831$ und $10486$ .

$f (7) = 4655 - 5880 + 1225$

Schritt 16.2.2.3

Subtrahiere $5880$ von $4655$ .

$f (7) = - 1225 + 1225$

Schritt 16.2.2.4

Addiere $- 1225$ und $1225$ .

$f (7) = 0$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 6$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(6)}^{2} - 144 \cdot 6 + 428$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$12 \cdot 36 - 144 \cdot 6 + 428$

Schritt 18.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $36$ .

$432 - 144 \cdot 6 + 428$

Schritt 18.1.3

Mutltipliziere $- 144$ mit $6$ .

$432 - 864 + 428$

Schritt 18.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 18.2.1

Subtrahiere $864$ von $432$ .

$- 432 + 428$

Schritt 18.2.2

Addiere $- 432$ und $428$ .

$- 4$

Schritt 19

$x = 6$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 6$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 6$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = {(6)}^{4} - 24 {(6)}^{3} + 214 {(6)}^{2} - 840 \cdot 6 + 1225$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Potenziere $6$ mit $4$ .

$f (6) = 1296 - 24 {(6)}^{3} + 214 {(6)}^{2} - 840 \cdot 6 + 1225$

Schritt 20.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f (6) = 1296 - 24 \cdot 216 + 214 {(6)}^{2} - 840 \cdot 6 + 1225$

Schritt 20.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $216$ .

$f (6) = 1296 - 5184 + 214 {(6)}^{2} - 840 \cdot 6 + 1225$

Schritt 20.2.1.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f (6) = 1296 - 5184 + 214 \cdot 36 - 840 \cdot 6 + 1225$

Schritt 20.2.1.5

Mutltipliziere $214$ mit $36$ .

$f (6) = 1296 - 5184 + 7704 - 840 \cdot 6 + 1225$

Schritt 20.2.1.6

Mutltipliziere $- 840$ mit $6$ .

$f (6) = 1296 - 5184 + 7704 - 5040 + 1225$

Schritt 20.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.2.1

Subtrahiere $5184$ von $1296$ .

$f (6) = - 3888 + 7704 - 5040 + 1225$

Schritt 20.2.2.2

Addiere $- 3888$ und $7704$ .

$f (6) = 3816 - 5040 + 1225$

Schritt 20.2.2.3

Subtrahiere $5040$ von $3816$ .

$f (6) = - 1224 + 1225$

Schritt 20.2.2.4

Addiere $- 1224$ und $1225$ .

$f (6) = 1$

Schritt 20.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 214 x^{2} - 840 x + 1225$ .

$(5, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(7, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(6, 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 22