Algebra Beispiele

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Standardform einer Hyperbel. Verwende diese Form, um die Exzentrizität zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \sqrt{15}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 5

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{15 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{15 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{15 + 5^{1}}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{15 + 5}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.3

Addiere $15$ und $5$ .

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

Schritt 6.2

Vereinige $\sqrt{5}$ und $\sqrt{15}$ zu einer einzigen Wurzel.

$2 \sqrt{\frac{5}{15}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$2 \sqrt{\frac{5 (1)}{15}}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 6.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 6.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 6.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 6.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 6.8

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$1.15470053 \dots$

Schritt 8