Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{3}} + \frac{x^{7}}{10}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.10

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 3.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{10}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{7}}{10}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{10} (7 x^{6})$

Schritt 3.3.3

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{7}{10} x^{6}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $\frac{7}{10}$ und $x^{6}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{7 x^{6}}{10}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{7 x^{6}}{10} - \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{7 x^{6}}{10} - \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{6}}{10} - \frac{1}{x^{4}}$