Algebra Beispiele

$\frac{10 x^{3} - 25 x}{5 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 10 x^{3} - 25 x$ und $g (x) = 5 x$ .

$\frac{5 x \frac{d}{d x} [10 x^{3} - 25 x] - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{3} - 25 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

$\frac{5 x (\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{3}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x (10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{5 x (10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 25 x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 25 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 25 x$ nach $x$ gleich $- 25 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \frac{d}{d x} [x]) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25 \cdot 1) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 25$ mit $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) (5 \cdot 1)}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{{(5 x)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$\frac{5 x (30 x^{2} - 25) - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3} - 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 + (- (10 x^{3}) - (- 25 x)) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x (30 x^{2}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 \cdot 30 x \cdot x^{2} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.5.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 (x^{2} x^{1}) + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \cdot 30 x^{2 + 1} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{5 \cdot 30 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $30$ .

$\frac{150 x^{3} + 5 x \cdot - 25 - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.4

Mutltipliziere $- 25$ mit $5$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - (10 x^{3}) \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 10 x^{3} \cdot 5 - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 10$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} - (- 25 x) \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.7

Mutltipliziere $- 25$ mit $- 1$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 25 x \cdot 5}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.1.8

Mutltipliziere $5$ mit $25$ .

$\frac{150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $150 x^{3} - 125 x - 50 x^{3} + 125 x$ .

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Schritt 6.5.2.1

Addiere $- 125 x$ und $125 x$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3} + 0}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.2.2

Addiere $150 x^{3} - 50 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{150 x^{3} - 50 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.5.3

Subtrahiere $50 x^{3}$ von $150 x^{3}$ .

$\frac{100 x^{3}}{5^{2} x^{2}}$

Schritt 6.6

Vereine die Terme

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Schritt 6.6.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{100 x^{3}}{25 x^{2}}$

Schritt 6.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $25$ .

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Schritt 6.6.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100 x^{3}$ heraus.

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Schritt 6.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 (x^{2})}$

Schritt 6.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (4 x^{3})}{25 x^{2}}$

Schritt 6.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{3}}{x^{2}}$

Schritt 6.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.6.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2}}$

Schritt 6.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Schritt 6.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} \cdot 1}$

Schritt 6.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x}{1}$

Schritt 6.6.3.2.4

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$4 x$